▷ Axiomas de la probabilidad

En este post se explica qué son los axiomas de la probabilidad. Así pues, encontrarás la definición axiomática de la probabilidad, cuáles son los diferentes axiomas de la probabilidad y un ejemplo de su aplicación.

Índice

¿Cuáles son los 3 axiomas de la probabilidad?

Los axiomas de la probabilidad son:

Axioma de la probabilidad 1: la probabilidad de un suceso no puede ser negativa.
Axioma de la probabilidad 2: la probabilidad de un suceso seguro es 1.
Axioma de la probabilidad 3: la probabilidad de un conjunto de sucesos excluyentes es igual a la suma de todas las probabilidades.

Los tres axiomas de las probabilidad también se conocen como axiomas de Kolmogórov, ya que fueron formulados por este matemático ruso en 1933.

A continuación se explica cada tipo de axioma de la probabilidad más detalladamente.

Axioma 1

El primer axioma de la probabilidad dice que la probabilidad de ocurrencia de un suceso no puede ser negativa y, por tanto, su valor es entre 0 y 1.

$0\leq P(A)\leq 1$

Si la probabilidad de un suceso es nula, significa que es imposible que ocurra. Por otro lado, si la probabilidad de un suceso es 1, quiere decir que dicho suceso seguro que ocurrirá. Así pues, cuanto mayor sea el valor de la probabilidad de un suceso, implica que más probable es de que ocurra.

Axioma 2

El segundo axioma de la probabilidad indica que la probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es igual a 1.

$P(\Omega)=1$

Un suceso seguro es un resultado de un experimento aleatorio que siempre va a ocurrir. Por lo tanto, un suceso seguro también se puede definir como el espacio muestral de un experimento aleatorio.

➤ Ver: Suceso seguro

Axioma 3

El tercer axioma de la probabilidad establece que dado un conjunto de sucesos excluyentes, la probabilidad conjunta de todos los sucesos es equivalente a la suma de todas las probabilidades de ocurrencia.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Dos sucesos o más son excluyentes cuando no pueden ocurrir a la vez, por lo que para calcular la probabilidad conjunta no es necesario tener en cuenta la probabilidad de que ocurran simultáneamente.

➤ Ver: Sucesos excluyentes

Ejemplo de los axiomas de la probabilidad

A modo de ejemplo, a continuación analizaremos varios resultados del experimento de lanzar de un dado para que veas que los axiomas de la probabilidad se cumplen.

En el lanzamiento de un dado hay seis posibles resultados, que son los siguientes:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

En este caso, todos los resultados son equiprobables, por lo tanto, para determinar la probabilidad de ocurrencia de cada resultado basta con hallar la probabilidad de un resultado. Así pues, aplicamos la fórmula de la regla de Laplace para calcular la probabilidad de cada resultado posible:

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

Entonces, como la probabilidad de obtener cada resultado es positiva, se cumple el primer axioma de la probabilidad.

Vamos a comprobar ahora el segundo axioma. En este caso, un suceso seguro es «obtener un número del 1 al 6», así que sumamos la probabilidad de obtener cada resultado:

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

De modo que la probabilidad de un suceso seguro es igual a 1, por lo que también se cumple el segundo axioma de la probabilidad.

Por último, solo queda verificar el tercer axioma de la probabilidad. Los diferentes resultados que podemos conseguir al lanzar un dado son excluyentes, ya que por ejemplo si obtenemos un 2 ya no podemos sacar un 5. Por lo tanto, el cálculo de obtener dos números cualesquiera se puede hacer de dos maneras: mediante la regla de Laplace o sumando la probabilidad de cada resultado.

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$P(2 \text{ o } 5)=P(2)+P(5)=0,167+0,167=0,33$

En ambos casos obtenemos el mismo valor de probabilidad, así que el tercer axioma de la probabilidad también es cierto.

Propiedades que se deducen de los axiomas de la probabilidad

De los tres axiomas de la probabilidad se pueden deducir las siguientes propiedades:

La probabilidad de un suceso imposible es nula.
$P(\varnothing)=0$
La probabilidad cualquier suceso es igual o menor que 1.
$P(A)\leq 1$
$0\leq P(A)\leq 1$
La probabilidad de un suceso es equivalente a uno menos la probabilidad de su suceso complementario.
$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$
Si un suceso está incluido en otro suceso, la probabilidad del primer suceso debe ser menor o igual que la probabilidad del segundo suceso.
$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$
La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su intersección.
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
Dado un conjunto de sucesos incompatibles dos a dos, su probabilidad conjunta se calcula sumando la probabilidad de ocurrencia de cada suceso.
$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$
Si el espacio muestral es finito y un suceso es S={x₁,x₁,…,x_k}, la probabilidad de ocurrencia de dicho suceso es equivalente a la siguiente expresión:
$P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_n)$