▷ Distribución binomial - Probabilidad y Estadística

En este artículo se explica qué es la distribución binomial en estadística y para qué sirve. Así que encontrarás la definición de la distribución binomial, ejemplos de distribuciones binomiales y las propiedades de este tipo de distribución de probabilidad. Además, podrás calcular cualquier probabilidad de la distribución binomial con una calculadora online.

Índice

¿Qué es la distribución binomial?

La distribución binomial es una distribución de probabilidad que cuenta el número de éxitos al realizar una serie de experimentos dicotómicos e independientes con una probabilidad de éxito constante.

Es decir, la distribución binomial es una distribución que describe el número de resultados con éxito de una secuencia de ensayos de Bernoulli.

Recuerda que un ensayo de Bernoulli es un experimento que tiene dos posibles resultados: «éxito» y «fracaso». Por lo tanto, si la probabilidad de «éxito» es p, la probabilidad de «fracaso» es q=1-p.

En general, el número total de experimentos realizados se define con el parámetro n, mientras que p es la probabilidad de éxito de cada experimento. De modo que una variable aleatoria que sigue una distribución binomial se escribe de la siguiente manera:

$X\sim\text{Bin}(n,p)$

Ten en cuenta que en una distribución binomial se repite exactamente el mismo experimento n veces y los experimentos son independientes entre sí, de modo que la probabilidad de éxito de cada experimento es la misma (p).

La distribución binomial también se puede llamar distribución binómica.

Ejemplos de la distribución binomial

Una vez hemos visto la definición de la distribución binomial, vamos a ver varios ejemplos de variables que siguen este tipo de distribución para entender mejor el concepto.

Número de veces que sale «cara» al lanzar una moneda 25 veces.
Número de tiros encestados por un jugador de baloncesto al lanzar 60 veces a canasta desde el mismo sitio.
Número de veces que obtenemos el número 6 al lanzar un dado 30 veces.
Número de aprobados de un total de 50 alumnos que hacen un examen.
Número de unidades defectuosas de una muestra de 100 productos.

Fórmula de la distribución binomial

Dados los parámetros x, n, p, la función de probabilidad de la distribución binomial se define como el número combinatorio de n en x por p^x por (1-p)^n-x.

Por lo tanto, la fórmula para calcular la probabilidad de una distribución binomial es la siguiente:

👉 Puedes usar la calculadora que hay más abajo para calcular la probabilidad de una variable que sigue la distribución binomial.

Por otro lado, la probabilidad acumulada de la distribución binomial se calcula sumando las probabilidades del número de casos de éxito en cuestión y todas las probabilidades anteriores. De modo que la fórmula para calcular una probabilidad acumulada de una distribución binomial es la siguiente:

$\displaystyle P[X\leq x]=\sum_{k=0}^x\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

Ejercicio resuelto de la distribución binomial

Lanzamos un total de 10 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener 6 veces cara?

La variable de este problema sigue una distribución binomial porque todos los lanzamientos son independientes entre sí y, además, tienen la misma probabilidad de éxito.

En concreto, la probabilidad de éxito es del 50%, ya que solo uno de los dos posibles resultados se considera como éxito.

$p=\cfrac{1}{2}=0,5$

Por lo tanto, la distribución de este ejercicio es una binomial con un total de 10 experimentos y una probabilidad de 0,5.

$X\sim\text{Bin}(10 ; 0,5)$

Entonces, para determinar la probabilidad de obtener seis veces cara, debemos aplicar la fórmula de la distribución binomial.

$\begin{aligned}P[X=x]&=\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}p^x(1-p)^{n-x}\\[2ex]P[X=6]&=\begin{pmatrix}10\\6\end{pmatrix}0,5^6(1-0,5)^{10-6}\\[2ex]P[X=6]&=0,2051\end{aligned}$

Así que la probabilidad de obtener exactamente seis veces cara al lanzar diez veces una moneda es del 20,51%.

Características de la distribución binomial

La distribución binomial cumple con las siguientes características:

La distribución binomial se define con dos parámetros: n es el número total de experimentos de Bernoulli y, por otro lado, p es la probabilidad de éxito de cada experimento de Bernoulli.

$\begin{array}{c}X\sim\text{Bin}(n,p)\\[2ex]n\geq 0\\[2ex]0\leq p\leq 1\end{array}$

La media de una distribución binomial es igual al producto del número total de experimentos por la probabilidad de éxito de cada experimento. Por lo tanto, para calcular la media de una distribución binomial se debe multiplicar n por p.

$E[X]=n\cdot p$

La varianza de una distribución binomial es equivalente al número total de ensayos multiplicado por la probabilidad de éxito y por la probabilidad de fracaso.

$Var(X)=n\cdot p\cdot (1-p)$

La fórmula de la función de probabilidad de la distribución binomial es la siguiente:

$\displaystyle P[X=x]&=\begin{pmatrix}n\\ x\end{pmatrix}p^x(1-p)^{n-x}$

Asimismo, la fórmula de la función de distribución acumulada de la distribución binomial es la siguiente:

$\displaystyle P[X\leq x]=\sum_{k=0}^x\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}$

La suma de dos distribuciones binomiales independientes con la misma probabilidad es equivalente a una distribución binomial con el mismo valor de probabilidad p y n siendo la suma del número total de ensayos de las dos distribuciones.

$\begin{array}{c}X\sim\text{Bin}(n,p)\qquad Y\sim\text{Bin}(m,p)\\[4ex]Z=X+Y \sim\text{Bin}(n+m,p)\end{array}$

$\displaystyle P[Z=z]=\begin{pmatrix}n+m\\z\end{pmatrix}p^z(1-p)^{n+m-z}$

La distribución de Bernoulli es un caso particular de la distribución binomial en la que n=1, es decir, solo se realiza un experimento.

$X\sim\text{Bin}(1,p) \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad X\sim\text{Bernoulli}(p)$

Si X₁, X₂,…, X_k son variables aleatorias independientes tales que X_i∼Bin(n_i,p) con i=1,2,…,k entonces se cumple la siguiente condición:

$\displaystyle\sum_{i=1}^k X_i\sim \text{Bin}\left(\sum_{i=1}^k n_i,p\right)$

Calculadora de la distribución binomial

Introduce los valores de los parámetros p, n y x de la distribución binomial en la siguiente calculadora para calcular la probabilidad. Debes seleccionar la probabilidad que quieres calcular e introducir los números utilizando el punto como separador decimal, por ejemplo, 0.1667.