▷ Medidas de forma (estadística)

En este artículo se explican cuáles son las medidas de forma. Así que encontrarás para qué sirven las medidas de forma, cómo se interpretan las medidas de forma y cómo se calculan este tipo de métricas estadísticas.

Índice

¿Qué son las medidas de forma?

En estadística, las medidas de forma son unos indicadores que permiten describir una distribución de probabilidad según la forma que tiene. Es decir, las medidas de forma sirven para determinar cómo es una distribución sin necesidad de representarla gráficamente.

Existen dos tipos de medidas de forma: la asimetría y la curtosis. La asimetría indica el grado de simetría de una distribución, mientras que la curtosis indica el grado de concentración de una distribución alrededor de su media.

¿Cuáles son las medidas de forma?

Vista la definición de medidas de forma, en este apartado se muestran cuáles son este tipo de parámetros estadísticos.

En estadística, se distinguen dos medidas de forma:

Asimetría: indica si una distribución es simétrica o asimétrica.
Curtosis: indica si una distribución es escarpada o achatada.

Asimetría

Hay tres tipos de asimetría:

Asimetría positiva: la distribución tiene más valores diferentes a la derecha de la media que a su izquierda.
Simetría: la distribución tiene el mismo número de valores a la izquierda que a la derecha de la media.
Asimetría negativa: la distribución tiene más valores diferentes a la izquierda de la media que a su derecha.

Coeficiente de asimetría

El coeficiente de asimetría, o índice de asimetría, es un coeficiente estadístico que permite determinar la asimetría de una distribución. De manera que calculando el coeficiente de asimetría se pude saber qué tipo de asimetría posee la distribución sin tener que hacer su representación gráfica.

Aunque existen diferentes fórmulas para calcular el coeficiente de asimetría, y seguidamente veremos todas ellas, independientemente de la fórmula utilizada la interpretación del coeficiente de asimetría siempre se hace de la siguiente manera:

Si el coeficiente de asimetría es positivo, la distribución es asimétrica positiva.
Si el coeficiente de asimetría es igual a cero, la distribución es simétrica.
Si el coeficiente de asimetría es negativo, la distribución es asimétrica negativa.

Coeficiente de asimetría de Fisher

El coeficiente de asimetría de Fisher es igual al tercer momento en torno a la media dividido por la desviación estándar de la muestra. Por lo tanto, la fórmula del coeficiente de asimetría de Fisher es la siguiente:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Equivalentemente, se puede usar cualquiera de las siguientes dos fórmulas para calcular el coeficiente de Fisher:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Donde $E$ es la esperanza matemática, $\mu$ la media aritmética, $\sigma$ la desviación estándar y $N$ el número total de datos.

Por otro lado, si los datos están agrupados puedes usar la siguiente fórmula:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Donde en este caso $x_i$ es la marca de clase y $f_i$ la frecuencia absoluta de la clase.

Coeficiente de asimetría de Pearson

El coeficiente de asimetría de Pearson es igual a la diferencia entre la media y la moda de la muestra partido por su desviación típica (o desviación estándar). De modo que la fórmula del coeficiente de asimetría de Pearson es la siguiente:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Donde $A_p$ es el coeficiente de Pearson, $\mu$ la media aritmética, $Mo$ la moda y $\sigma$ la desviación típica.

Ten presente que el coeficiente de asimetría de Pearson solamente se puede calcular si es una distribución unimodal, es decir, si hay una única moda en los datos.

Coeficiente de asimetría de Bowley

El coeficiente de asimetría de Bowley es igual a la suma del tercer cuartil más el primer cuartil menos el doble de la mediana partido por la diferencia entre el tercer y el primer cuartil. Por tanto, la fórmula de este coeficiente de asimetría es la siguiente:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Donde $Q_1$ y $Q_3$ son el primer y el tercer cuartil respectivamente y $Me$ es la mediana de la distribución.

Curtosis

La curtosis, también llamada apuntamiento, indica el grado de concentración de una distribución alrededor de su media. Es decir, la curtosis muestra si una distribución es escarpada o achatada. En concreto, cuanto mayor sea la curtosis de una distribución más escarpada (o apuntada) es.

Hay tres tipos de curtosis:

Leptocúrtica: la distribución es muy apuntada, es decir, los datos están muy concentrados alrededor de la media. En concreto, las distribuciones leptocúrticas se definen como aquellas distribuciones más apuntadas que la distribución normal.
Mesocúrtica: la curtosis de la distribución es equivalente a la curtosis de la distribución normal. Por tanto, no se considera ni apuntada ni achatada.
Platicúrtica: la distribución es muy achatada, es decir, la concentración en torno a la media es baja. Formalmente, las distribuciones platicúrticas se definen como aquellas distribuciones más achatadas que la distribución normal.

Fíjate que los diferentes tipos de curtosis se definen tomando como referencia la curtosis de la distribución normal.

Coeficiente de curtosis

La fórmula del coeficiente de curtosis es:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

La fórmula del coeficiente de curtosis para datos agrupados en tablas de frecuencias:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Por último, la fórmula del coeficiente de curtosis para datos agrupados en intervalos:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Donde:

$g_2$ es el coeficiente de curtosis.
$N$ es el número total de datos.
$x_i$ es el dato i-ésimo de la serie.
$\mu$ es la media aritmética de la distribución.
$\sigma$ es la desviación estándar (o desviación típica) de la distribución.
$f_i$ es la frecuencia absoluta del grupo de datos i-ésimo.
$c_i$ es la marca de clase del grupo i-ésimo.

Ten en cuenta que en todas las fórmulas del coeficiente de curtosis se resta 3 porque es el valor de la curtosis de la distribución normal. De modo que el cálculo del coeficiente de curtosis se hace tomando como referencia la curtosis de la distribución normal. Por eso en ocasiones en estadística se dice que se calcula el exceso de curtosis.

Una vez se ha calculado el coeficiente de curtosis, se debe interpretar de la siguiente manera para identificar qué tipo de curtosis se trata:

Si el coeficiente de curtosis es positivo, significa que la distribución es leptocúrtica.
Si el coeficiente de curtosis es igual a cero, significa que la distribución es mesocúrtica.
Si el coeficiente de curtosis es negativo, significa que la distribución es platicúrtica.

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