Distribución chi-cuadrado

En este artículo se explica qué es la distribución chi-cuadrado y para qué sirve. Además, encontrarás la gráfica de la distribución chi-cuadrado y sus propiedades.

¿Qué es la distribución chi-cuadrado?

La distribución chi-cuadrado es una distribución de probabilidad cuyo símbolo es χ². En concreto, la distribución chi-cuadrado es la suma del cuadrado de k variables aleatorias independientes con distribución normal.

Así pues, la distribución chi-cuadrado tiene k grados de libertad. Por lo tanto, una distribución chi-cuadrada tiene tantos grados de libertad como la suma de los cuadrados de variables con distribución normal que representa.

\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}

La distribución chi-cuadrado también se conoce como distribución de Pearson.

Cabe destacar que la distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma.

La distribución chi-cuadrado se utiliza mucho en inferencia estadística, por ejemplo, se usa en el contraste de hipótesis y en los intervalos de confianza. Más abajo veremos cuáles son las aplicaciones de este tipo de distribución de probabilidad.

Gráfica de la distribución chi-cuadrado

Una vez vista la definición de distribución chi-cuadrado, vamos a ver varios ejemplos de este tipo de distribuciones representadas gráficamente. Así pues, a continuación puedes ver cómo varia la gráfica de probabilidad de la distribución-chi cuadrado según los grados de libertad.

gráfica de la distribución chi-cuadrado

En el gráfico de arriba se ha representado la función de densidad de la distribución chi-cuadrado. Por otro lado, la gráfica de la función de distribución de probabilidad acumulada de la chi-cuadrado es la siguiente:

gráfica de la distribución chi-cuadrado acumulada

Características de la distribución chi-cuadrado

En este apartado veremos las propiedades más importantes de la distribución chi-cuadrado relacionadas con la teoría de la probabilidad y la estadística.

  • La media de una distribución chi-cuadrado es igual a sus grados de libertad.

\begin{array}{c}X\sim\chi^2_k\\[2ex] E[X]=k\end{array}

  • La varianza de una distribución chi-cuadrado es equivalente al doble de los grados de libertad de la distribución.

\begin{array}{c}X\sim\chi^2_k\\[2ex] Var(X)=2\cdot k\end{array}

  • La moda de una distribución chi-cuadrada es dos unidades menos que sus grados de libertad, siempre y cuando la distribución tenga más de un grado de libertad.

Mo=k-2 \qquad \text{si } k\geq 2

  • La función de densidad de la distribución chi-cuadrado es nula si x=0. No obstante, para valores de x mayores que 0, la función de densidad de una distribución chi-cuadrado se define mediante la siguiente fórmula:

\displaystyle P[X=x]= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}

  • La función de distribución acumulada de la distribución chi-cuadrado está regida por la siguiente fórmula:

\displaystyle P[X\leq x]=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}

  • El coeficiente de asimetría de la distribución chi-cuadrado es la raíz cuadrada del cociente de ocho entre el número de grados de libertad de la distribución.

\displaystyle A=\sqrt{\frac{8}{k}}

  • La curtosis de la distribución chi-cuadrado se calcula mediante la siguiente expresión:

C=3+\cfrac{12}{k}

  • Como consecuencia del teorema del límite central, la distribución chi-cuadrado puede aproximarse por una distribución normal si k es suficientemente gradne.

\displaystyle\lim_{k \to \infty} \frac{\chi^2_k (x)}{ k } = N_{\left(1,\sqrt{2/k}\right)} (x)

Aplicaciones de la distribución chi-cuadrado

La distribución chi-cuadrado tiene muchas aplicaciones diferentes en estadística. De hecho, hasta existe la prueba de chi-cuadrado que sirve para comprobar la independencia entre variables y la bondad de ajuste a una distribución teórica. Por ejemplo, se puede usar la prueba de chi-cuadrado para determinar si los datos de una muestra se ajustan a una distribución de Poisson.

En el análisis de una regresión lineal, la distribución chi-cuadrado también se utiliza para estimar la media de una población normalmente distribuida y para estimar la pendiente de la recta del estudio de regresión lineal.

Por último, la distribución chi-cuadrado también participa en el análisis de varianza, debido a su relación con la distribución F de Snedecor.

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