Prueba t de Student

En este artículo se explica qué es la prueba t de Student y para qué sirve en estadística. Así pues, encontrarás cómo se hace la prueba t de Student, cuáles son los diferentes tipos de pruebas t de Student y la fórmula de cada uno.

¿Qué es la prueba t de Student?

La prueba t de Student, también llamada Test-T o simplemente prueba t, es una prueba estadística en la que el estadístico de la prueba sigue una distribución t de Student. Por lo tanto, en estadística, la prueba t de Student se usa para rechazar o aceptar la hipótesis nula de una prueba de hipótesis.

En concreto, la prueba t de Student se utiliza en aquellas pruebas de hipótesis en las que la población estudiada sigue una distribución normal, pero el tamaño muestral es demasiado pequeño como para conocer la varianza de la población.

En definitiva, la prueba t de Student sirve para rechazar o aceptar la hipótesis de estudio de algunas pruebas de hipótesis. Por ejemplo, la prueba t de Student se utiliza en las pruebas de hipótesis para una muestra, para muestras independientes o para muestras relacionadas. A continuación veremos cómo se calcula la prueba t de Student en cada caso.

Tipos de pruebas t de Student

Hay tres tipos de pruebas t de Student:

  • Prueba t de Student para una muestra: se usa para analizar la hipótesis sobre el valor de la media de una muestra.
  • Prueba t de Student para dos muestras independientes: sirve para estudiar la hipótesis sobre la diferencia entre las medias de dos muestras independientes.
  • Prueba t de Student para dos muestras pareadas (o muestras relacionadas): se utiliza para investigar la hipótesis sobre la media de una muestra evaluada dos veces.

Prueba t de Student para una muestra

Las pruebas de hipótesis para la media de una muestra son aquellas en las que la hipótesis nula y la hipótesis alternativa del contraste afirman algo sobre el valor de la media de una población.

La fórmula de la prueba t de Student para una muestra es la siguiente:

\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}

Donde:

  • t es el estadístico de la prueba de hipótesis para la media, el cual está definido por una distribución t Student.
  • \overline{x} es la media de la muestra.
  • \mu es el valor de la media propuesto en la prueba de hipótesis.
  • s es la desviación estándar de la muestra.
  • n es el tamaño de la muestra.

Una vez se ha calculado el valor de la prueba t de Student, se debe interpretar el resultado del estadístico de la prueba con el valor crítico para rechazar o no la hipótesis nula:

  • Si la prueba de hipótesis para la media es de dos colas, se rechaza la hipótesis nula si el valor absoluto de la prueba t de Student es mayor que el valor crítico tα/2|n-1.
  • Si la prueba de hipótesis para la media corresponde a la cola derecha, se rechaza la hipótesis nula si el valor de la prueba t de Student es mayor que el valor crítico tα|n-1.
  • Si la prueba de hipótesis para la media corresponde a la cola izquierda, se rechaza la hipótesis nula si el valor de la prueba t de Student es menor que el valor crítico -tα|n-1.

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

Ten en cuenta que los valores críticos de la prueba se obtienen de la tabla de la distribución t Student.

Prueba t de Student para muestras independientes

La prueba t de Student para muestras independientes se utiliza para rechazar o aceptar la hipótesis sobre una relación entre las medias de dos poblaciones, por ejemplo, que la media de dos poblaciones son distintas o que la media de la población A es mayor que la media de la población B.

No obstante, en este caso la fórmula de la prueba t de Student varia según si se puede suponer que las varianzas poblacionales son iguales o no. Así pues, a continuación veremos los dos casos posibles.

Varianzas desconocidas e iguales

La fórmula para calcular la prueba t de Student para muestras independientes cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero se suponen iguales es la siguiente:

\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}

Donde:

  • t es el estadístico de la prueba de hipótesis para la diferencia de medias con varianzas desconocidas, el cual sigue una distribución t Student con n1+n2-2 grados de libertad.
  • \mu_1 es la media de la población 1.
  • \mu_2 es la media de la población 2.
  • \overline{x_1} es la media de la muestra 1.
  • \overline{x_2} es la media de la muestra 2.
  • s_p es la desviación estándar combinada.
  • n_1 es el tamaño de la muestra 1.
  • n_2 es el tamaño de la muestra 2.

La desviación estándar combinada de las dos muestras se calcula con la siguiente fórmula:

\displaystyle s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}

Varianzas desconocidas y diferentes

Cuando se desconocen las varianzas de las poblaciones y, además, se suponen que son diferentes, la fórmula para calcular para calcular la prueba t de Student para muestras independientes es la siguiente:

\displaystyle t=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}

Donde:

  • t es el estadístico de la prueba de hipótesis para la diferencia de medias con varianzas desconocidas, el cual sigue una distribución t Student.
  • \mu_1 es la media de la población 1.
  • \mu_2 es la media de la población 2.
  • \overline{x_1} es la media de la muestra 1.
  • \overline{x_2} es la media de la muestra 2.
  • \sigma_1 es la desviación estándar de la población 1.
  • \sigma_2 es la desviación estándar de la población 2.
  • n_1 es el tamaño de la muestra 1.
  • n_2 es el tamaño de la muestra 2.

Sin embargo, en este caso los grados de libertad de la distribución t de Student se calculan mediante la siguiente fórmula:

\displaystyle GL=\frac{\displaystyle\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{s_1^2}{n_1}}{n_1-1}+\frac{\displaystyle\frac{s_2^2}{n_2}}{n_2-1}}

Prueba t de Student para muestras pareadas o relacionadas

Esta prueba se usa cuando dos muestras estudiadas están relacionadas entre sí, de manera que en realidad se trata de una sola muestra de individuos que ha sido analizado dos veces (cada vez con unas condiciones distintas).

Por ejemplo, se pueden analizar las notas que sacan los alumnos de una clase en matemáticas y en estadística, para ver si existe una diferencia significativa entre las medias de las dos asignaturas. En este caso, la nota de matemáticas de cada alumno está relacionada con la nota de estadística de ese mismo alumno.

La fórmula de la prueba t de Student para muestras pareadas o relacionadas es la siguiente:

\displaystyle t=\frac{\overline{x_D}-\mu_D}{\displaystyle \frac{s_D}{\sqrt{n}}}

Donde:

  • t es el estadístico de la prueba de hipótesis para medias pareadas, el cual está definido por una distribución t Student.
  • \overline{x_D} es la media de la muestra formada por la diferencia de los datos.
  • \mu_D es el valor de la media propuesto en la prueba de hipótesis.
  • s_D es la desviación estándar de la muestra formada por la diferencia de los datos.
  • n es el tamaño de la muestra.

Asunciones de la prueba t de Student

Para poder realizar la prueba de la t de Student, se deben cumplir las siguientes condiciones:

  • Continuidad: los datos de la muestra son continuos.
  • Aleatoriedad: los datos de la muestra se han seleccionado de manera aleatoria.
  • Homogeneidad: la varianza de la muestra de datos es homogénea.
  • Normalidad: la distribución que define la muestra de datos es aproximadamente normal.

Cómo hacer una prueba t de Student

Para terminar, a modo de resumen, se detallan los pasos que se deben seguir para hacer una prueba t de Student.

  1. Definir las hipótesis nula y alternativa de la prueba de hipótesis.
  2. Establecer el nivel de significación (α) de la prueba de hipótesis.
  3. Revisar que las asunciones de la prueba t de Student se cumplen.
  4. Aplicar la fórmula de la prueba t de Student correspondiente y calcular el estadístico de la prueba.
  5. Interpretar el resultado de la prueba t de Student comparándolo con el valor crítico de la prueba.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Ir arriba