Prueba Z

En este artículo se explica qué es la prueba Z en estadística y para qué sirve. De modo que encontrarás cómo se hace una prueba Z, las diferentes fórmulas de la prueba Z y, por último, la diferencia entre la prueba Z y otras pruebas estadísticas.

¿Qué es una prueba Z?

En estadística, la prueba Z es una prueba de hipótesis que se usa cuando el estadístico de la prueba sigue una distribución normal. El estadístico obtenido de una prueba Z se llama estadístico Z o valor Z.

La fórmula de la prueba Z siempre es de la misma forma, en concreto, el estadístico de la prueba Z es igual a la diferencia entre el valor muestral calculado y el valor poblacional propuesto partido por la desviación estándar del parámetro poblacional.

Z=\cfrac{\widehat{X}-X}{\sigma_{_X}}

La prueba Z sirve para rechazar o aceptar la hipótesis nula de las pruebas de hipótesis en las que el estadístico de la prueba sigue una distribución normal.

Por ejemplo, la prueba Z se utiliza en las pruebas de hipótesis para la media cuando se conoce la varianza de la población con el fin de rechazar o aceptar una hipótesis acerca del valor de la media poblacional.

Tipos de pruebas Z

Se pueden distinguir diferentes tipos de pruebas Z según el parámetro sobre el cual se realiza la prueba de hipótesis:

  • Prueba Z para la media.
  • Prueba Z para la proporción.
  • Prueba Z para la diferencia de medias.
  • Prueba Z para la diferencia de proporciones.

A continuación puedes ver la fórmula de cada tipo de prueba Z.

Prueba Z para la media

La fórmula de la prueba Z para la media es la siguiente:

\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}

Donde:

  • Z es el estadístico de la prueba Z para la media.
  • \overline{x} es la media muestral.
  • \mu es el valor de la media propuesto.
  • \sigma es la desviación estándar de la población.
  • n es el tamaño de la muestra.

Una vez se ha calculado el estadístico de la prueba de hipótesis para la media, se debe interpretar el resultado para rechazar o no la hipótesis nula:

  • Si la prueba de hipótesis para la media es de dos colas, se rechaza la hipótesis nula si el valor absoluto del estadístico es mayor que el valor crítico Zα/2.
  • Si la prueba de hipótesis para la media corresponde a la cola derecha, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es mayor que el valor crítico Zα.
  • Si la prueba de hipótesis para la media corresponde a la cola izquierda, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es menor que el valor crítico -Zα.

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

Los valores críticos de la prueba Z se obtienen de la tabla de la distribución normal estándar.

Prueba Z para la proporción

La fórmula de la prueba Z para la proporción es la siguiente:

\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}

Donde:

  • Z es el estadístico de la prueba Z para la proporción.
  • \widehat{p} es la proporción muestral.
  • p es el valor de la proporción propuesto.
  • n es el tamaño muestral.
  • \displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} es la desviación estándar de la proporción.

Ten presente que no basta con calcular el estadístico de la prueba Z para la proporción, sino que luego se debe interpretar el resultado obtenido:

  • Si la prueba de hipótesis para la proporción es de dos colas, se rechaza la hipótesis nula si el valor absoluto del estadístico es mayor que el valor crítico Zα/2.
  • Si la prueba de hipótesis para la proporción corresponde a la cola derecha, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es mayor que el valor crítico Zα.
  • Si la prueba de hipótesis para la proporción corresponde a la cola izquierda, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es menor que el valor crítico -Zα.

\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

Prueba Z para la diferencia de medias

La fórmula para calcular el estadístico de la prueba Z para la diferencia de medias es la siguiente:

\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}

Donde:

  • Z es el estadístico de la prueba Z para la diferencia de dos medias con varianza conocida, el cual sigue una distribución normal estándar.
  • \mu_1 es la media de la población 1.
  • \mu_2 es la media de la población 2.
  • \overline{x_1} es la media de la muestra 1.
  • \overline{x_2} es la media de la muestra 2.
  • \sigma_1 es la desviación estándar de la población 1.
  • \sigma_2 es la desviación estándar de la población 2.
  • n_1 es el tamaño de la muestra 1.
  • n_2 es el tamaño de la muestra 2.

Prueba Z para la diferencia de proporciones

La fórmula para calcular el estadístico de la prueba Z para la diferencia de proporciones de dos poblaciones es la siguiente:

\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}

Donde:

  • Z es el estadístico de la prueba Z para la diferencia de proporciones.
  • p_1 es la proporción de la población 1.
  • p_2 es la proporción de la población 2.
  • \widehat{p_1} es la proporción de la muestra 1.
  • \widehat{p_2} es la proporción de la muestra 2.
  • n_1 es el tamaño de la muestra 1.
  • n_2 es el tamaño de la muestra 2.
  • p_0 es la proporción combinada de las dos muestras.

La proporción combinada de las dos muestras se calcula de la siguiente manera:

p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}

Donde x_i es el número de aciertos de la muestra i y n_i es el tamaño de la muestra i.

Cómo hacer una prueba Z

Ahora que ya hemos visto cuáles son las diferentes fórmulas de la prueba Z, vamos a ver cómo se hace una prueba Z.

Los pasos que se deben seguir para hacer una prueba Z son los siguientes.

  1. Definir la hipótesis nula e hipótesis alternativa de la prueba de hipótesis.
  2. Decidir el nivel de significación alfa (α) de la prueba de hipótesis.
  3. Revisar que los requisitos para poder emplear la prueba Z se cumplen.
  4. Aplicar la fórmula de la prueba Z correspondiente y calcular el estadístico de la prueba.
  5. Interpretar el resultado de la prueba Z comparándolo con el valor crítico de la prueba.

Prueba Z y prueba t

Para terminar, veremos cuál es la diferencia entre la prueba Z y la prueba t, ya que seguramente son los dos tipos de pruebas de hipótesis más utilizadas en estadística.

La prueba t, también llamada prueba t de Student, es una prueba de hipótesis que se usa cuando la población estudiada sigue una distribución normal, pero el tamaño muestral es demasiado pequeño como para conocer la varianza de la población.

Por lo tanto, la principal diferencia entre el uso de la prueba Z y de la prueba t es si se conoce la varianza o no. Cuando se conoce la varianza de la población se utiliza la prueba Z, en cambio, cuando se desconoce la varianza poblacional se usa la prueba t.

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