Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones

En este artículo se explica qué es la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones. También encontrarás cómo hacer una prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones junto con un ejercicio resuelto paso a paso.

¿Qué es la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones?

La prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones es un método que se usa para rechazar o aceptar la hipótesis de que las proporciones de dos poblaciones son diferentes. Es decir, la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones sirve para determinar si dos proporciones poblacionales son iguales o no.

Ten en cuenta que las decisiones tomadas en las pruebas de hipótesis se basan en un nivel de confianza previamente establecido, por lo que no se puede garantizar que el resultado de una prueba de hipótesis sea siempre el acertado, sino que es el resultado más probable de que sea verdad.

La prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones consiste en calcular el estadístico de la prueba y compararlo con el valor crítico para rechazar o no rechazar la hipótesis nula. Más abajo entraremos en detalle en cómo se hace una prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones.

Finalmente, recuerda que en estadística las pruebas de hipótesis también se pueden decir contrastes de hipótesis, test de hipótesis o pruebas de significación.

Fórmula de la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones

La fórmula para calcular el estadístico de la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones de dos poblaciones es la siguiente:

\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}

Donde:

  • Z es el estadístico de la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones.
  • p_1 es la proporción de la población 1.
  • p_2 es la proporción de la población 2.
  • \widehat{p_1} es la proporción de la muestra 1.
  • \widehat{p_2} es la proporción de la muestra 2.
  • n_1 es el tamaño de la muestra 1.
  • n_2 es el tamaño de la muestra 2.
  • p_0 es la proporción combinada de las dos muestras.

La proporción combinada de las dos muestras se calcula de la siguiente manera:

p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}

Donde x_i es el número de aciertos de la muestra i y n_i es el tamaño de la muestra i.

Ejemplo resuelto de la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones

Para acabar de ver en qué consiste la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones, a continuación se muestra un ejemplo resuelto paso a paso de este tipo de pruebas de hipótesis.

  • Se quiere analizar si existe una diferencia significativa en el efecto de dos medicamentos que se usan para la misma enfermedad. Para ello, se aplica uno de los medicamentos a una muestra de 60 enfermos y se curan 48 personas. Por otro lado, se aplica el otro medicamento a una muestra de 65 enfermos y se curan 55. Realiza una prueba de hipótesis con un nivel de significación del 5% para determinar si el porcentaje de personas curadas por cada medicamento es diferente.

La prueba de hipótesis de este problema está formada por las siguientes hipótesis nula e hipótesis alternativa:

\begin{cases}H_0: p_1-p_2=0\\[2ex] H_1:p_1-p_2\neq 0 \end{cases}

En primer lugar, calculamos la proporción de cada muestra dividiendo el número de casos de éxito entre el tamaño muestral:

\widehat{p_1}=\cfrac{48}{60}=0,80

\widehat{p_1}=\cfrac{55}{65}=0,85

Luego hallamos la proporción combinada de las dos muestras:

p_0=\cfrac{48+55}{60+65}=0,82

Entonces, aplicamos la fórmula de la prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones para calcular el estadístico de la prueba:

\begin{aligned}\displaystyle Z&=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}\\[2ex]\displaystyle Z&=\frac{\displaystyle (0,80-0,85)-0}{\displaystyle \sqrt{0,82\cdot(1-0,82)\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{65}\right)}}\\[2ex]\displaystyle Z&=-0,73 \end{aligned}

Por otro lado, buscamos el valor crítico de la prueba de hipótesis en la tabla de Z. Como el nivel de significación es 0,05 y es una prueba de hipótesis de dos colas, el valor crítico de la prueba es 1,96.

\alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025

\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}

De modo que el valor absoluto del estadístico de la prueba es menor que el valor crítico, en consecuencia, se rechaza la hipótesis alternativa y se acepta la hipótesis nula de la prueba.

|-0,73|=0,73<1,96 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_1

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