Prueba de hipótesis para la proporción

En este artículo se explica qué es la prueba de hipótesis para la proporción en estadística. De modo que encontrarás la fórmula de la prueba de hipótesis para la proporción y, además, un ejercicio resuelto paso a paso para entender bien cómo se hacen.

¿Qué es una prueba de hipótesis para la proporción?

La prueba de hipótesis para la proporción es un método estadístico que sirve para determinar si se rechaza o no la hipótesis nula de una proporción poblacional.

Así pues, según el valor del estadístico de la prueba de hipótesis para la proporción y el nivel de significación, se rechaza la hipótesis nula o se acepta.

Ten en cuenta que las pruebas de hipótesis también se pueden llamar contrastes de hipótesis, test de hipótesis o pruebas de significación.

Fórmula de la prueba de hipótesis para la proporción

El estadístico de la prueba de hipótesis para la proporción es igual a la diferencia de la proporción muestral menos el valor de la proporción propuesto partido por la desviación estándar de la proporción.

De modo que la fórmula de la prueba de hipótesis para la proporción es la siguiente:

\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}

Donde:

  • Z es el estadístico de la prueba de hipótesis para la proporción.
  • \widehat{p} es la proporción muestral.
  • p es el valor de la proporción propuesto.
  • n es el tamaño muestral.
  • \displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} es la desviación estándar de la proporción.

Ten presente que no basta con calcular el estadístico de la prueba de hipótesis para la proporción, sino que luego se debe interpretar el resultado:

  • Si la prueba de hipótesis para la proporción es de dos colas, se rechaza la hipótesis nula si el valor absoluto del estadístico es mayor que el valor crítico Zα/2.
  • Si la prueba de hipótesis para la proporción corresponde a la cola derecha, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es mayor que el valor crítico Zα.
  • Si la prueba de hipótesis para la proporción corresponde a la cola izquierda, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es menor que el valor crítico -Zα.

\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

Recuerda que los valores críticos se pueden obtener fácilmente de la tabla de la distribución normal.

Ejemplo de la prueba de hipótesis para la proporción

Una vez hemos visto la definición de la prueba de hipótesis para la proporción y cuál es su fórmula, vamos a resolver un ejemplo para entender mejor el concepto.

  • Según su fabricante, un medicamento para una enfermedad concreta tiene una efectividad del 70%. En un laboratorio se está probando la efectividad de ese medicamento ya que los investigadores creen que la la proporción es diferente, para ello, se prueba el medicamento en una muestra de 1000 personas enfermas y se curan 641 personas. Realiza una prueba de hipótesis para la proporción poblacional con un nivel de significación del 5% para rechazar o no la suposición que tienen los investigadores.

En este caso, la hipótesis nula y la hipótesis alternativa de la prueba de hipótesis para la proporción de la población son las siguientes:

\begin{cases}H_0: p=0,70\\[2ex] H_1:p\neq 0,70 \end{cases}

La proporción de personas de la muestra que se han curado con el medicamento es:

\widehat{p}=\cfrac{641}{1000}=0,641

Calculamos el estadístico del contaste de hipótesis para la proporción aplicando la fórmula vista más arriba:

\begin{aligned} \displaystyle Z&=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\\[2ex]Z&=\frac{0,641-0,70}{\displaystyle\sqrt{\frac{0,70\cdot (1-0,70)}{1000}}}  \\[2ex] Z&=-4,07\end{aligned}}

Por otro lado, como el nivel de significación es 0,05 y es una prueba de hipótesis de dos colas, el valor crítico de la prueba es 1,96.

Z_{0,025}=1,96

En conclusión, el valor absoluto del estadístico de la prueba es mayor que el valor crítico, por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula y aceptamos la hipótesis alternativa.

|-4,07|=4,07>1,96 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_0

Prueba de hipótesis para las proporciones de dos muestras

La prueba de hipótesis para las proporciones de dos muestras se usa para rechazar o aceptar la hipótesis nula de que las proporciones de dos poblaciones diferentes son iguales.

Así pues, la hipótesis nula de una prueba de hipótesis para las proporciones de dos muestras siempre es la siguiente:

H_0: p_1=p_2

Mientras que la hipótesis alternativa puede ser cualquiera de las siguientes tres opciones:

\begin{array}{l}H_1:p_1\neq p_2\\[2ex]H_1:p_1>p_2\\[2ex]H_1:p_1<p_2\end{array}

La proporción combinada de las dos muestras se calcula de la siguiente manera:

p=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}

Y la fórmula para calcular el estadístico de la prueba de hipótesis para las proporciones de dos muestras es la siguiente:

\displaystyle Z=\frac{\displaystyle \frac{x_1}{n_1}-\frac{x_2}{n_2}}{\displaystyle \sqrt{p(1-p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}

Donde:

  • Z es el estadístico de la prueba de hipótesis para las proporciones de dos muestras.
  • x_1 es el número de aciertos de la muestra 1.
  • x_2 es el número de aciertos de la muestra 2.
  • n_1 es el tamaño de la muestra 1.
  • n_2 es el tamaño de la muestra 2.
  • p es la proporción combinada de las dos muestras.

Prueba de hipótesis para las proporciones de k muestras

En una prueba de hipótesis para las proporciones de k muestras se pretende determinar si todas las proporciones de las diferentes poblaciones son iguales o, por el contrario, hay alguna proporción diferente. Por lo tanto, la hipótesis nula y la hipótesis alternativa en esta caso son:

\begin{cases}H_0: \text{Todas las proporciones son iguales}\\[2ex] H_1: \text{No todas las proporciones son iguales} \end{cases}

En este caso, la proporción combinada de todas las muestras se calcula de la siguiente manera:

p=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^k x_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i}=\cfrac{x_1+x_2+\dots+x_k}{n_1+n_2+\dots+n_k}

La fórmula para hallar el estadístico de la prueba de hipótesis para las proporciones de k muestras es la siguiente:

\displaystyle \chi^2 =\sum_{i=1}^k \frac{(x_i-e_i)^2}{e_i}

\displaystyle\chi^2 = \frac{(x_1-e_1)^2}{e_1} +\frac{(x_2-e_2)^2}{e_2} +\dots+\frac{(x_k-e_k)^2}{e_k}

Donde:

  • \chi^2 es el estadístico de la prueba de hipótesis para las proporciones de k muestras. En este caso el estadístico sigue una distribución chi-cuadrado.
  • x_i es el número de aciertos de la muestra i.
  • n_i es el tamaño de la muestra i.
  • p es la proporción combinada de todas las muestras.
  • e_i es el número de aciertos esperados de la muestra i. Se calcula multiplicando la proporción combinada p por el tamaño de la muestra n_i.

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