Prueba de hipótesis para la media

En este artículo se explica qué es una prueba de hipótesis para la media en estadística. Así pues, encontrarás la fórmula de la prueba de hipótesis para la media y, además, un ejercicio resuelto paso a paso.

¿Qué es la prueba de hipótesis para la media?

La prueba de hipótesis para la media es un método estadístico que se usa para rechazar o no la hipótesis nula de una media poblacional.

En concreto, la prueba de hipótesis para la media consiste en calcular el estadístico de la prueba y compararlo con el valor crítico para rechazar o no rechazar la hipótesis nula.

Cabe destacar que las pruebas de hipótesis se llaman de maneras diferentes, en estadística también se conocen como contrastes de hipótesis, test de hipótesis o pruebas de significación.

Fórmula de la prueba de hipótesis para la media

A continuación vamos a ver cómo se calcula el estadístico de la prueba de hipótesis para la media. No obstante, la fórmula varia ligeramente según si se conoce la varianza o no, por lo que primero veremos cómo se hace cuando la varianza es conocida y luego cuando la varianza es desconocida.

Con varianza conocida

La fórmula de la prueba de hipótesis para la media con varianza conocida es la siguiente:

\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}

Donde:

  • Z es el estadístico de la prueba de hipótesis para la media.
  • \overline{x} es la media muestral.
  • \mu es el valor de la media propuesto.
  • \sigma es la desviación estándar de la población.
  • n es el tamaño de la muestra.

Una vez se ha calculado el estadístico de la prueba de hipótesis para la media, se debe interpretar el resultado para rechazar o no la hipótesis nula:

  • Si la prueba de hipótesis para la media es de dos colas, se rechaza la hipótesis nula si el valor absoluto del estadístico es mayor que el valor crítico Zα/2.
  • Si la prueba de hipótesis para la media corresponde a la cola derecha, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es mayor que el valor crítico Zα.
  • Si la prueba de hipótesis para la media corresponde a la cola izquierda, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es menor que el valor crítico -Zα.

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

En este caso, los valores críticos se obtienen de la tabla de la distribución normal estandarizada.

Con varianza desconocida

La fórmula de la prueba de hipótesis para la media con varianza desconocida es la siguiente:

\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}

Donde:

  • t es el estadístico de la prueba de hipótesis para la media, el cual está definido por una distribución t Student.
  • \overline{x} es la media de la muestra.
  • \mu es el valor de la media propuesto.
  • s es la desviación estándar de la muestra.
  • n es el tamaño de la muestra.

Igual que antes, se debe interpretar el resultado calculado del estadístico de la prueba con el valor crítico para rechazar o no la hipótesis nula:

  • Si la prueba de hipótesis para la media es de dos colas, se rechaza la hipótesis nula si el valor absoluto del estadístico es mayor que el valor crítico tα/2|n-1.
  • Si la prueba de hipótesis para la media corresponde a la cola derecha, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es mayor que el valor crítico tα|n-1.
  • Si la prueba de hipótesis para la media corresponde a la cola izquierda, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es menor que el valor crítico -tα|n-1.

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

Cuando la varianza es desconocida, los valores críticos de la prueba se obtienen de la tabla de la distribución t Student.

Ejemplo resuelto de la prueba de hipótesis para la media

Para acabar de entender el concepto de la prueba de hipótesis para la media poblacional, a continuación puedes ver un ejemplo resuelto de este tipo de pruebas de hipótesis.

  • Una empresa tecnológica afirma que la batería del ordenador portátil que vende tiene una duración de 6 horas. Se procede a comprobar si es falsa esta hipótesis realizando una prueba de hipótesis con un nivel de significación α=0,05. Para ello, se decide comprar 20 unidades y observar cuánto dura la batería de cada ordenador (los valores están expresados en horas):

5,2  5,9  7,1  4,2  6,5
8,5  4,6  6,8  6,9 5,8
5,1  6,5  7,0  5,3 6,2
5,7  6,6  7,5  5,1  6,1

En este caso, la hipótesis nula y alternativa de la prueba de hipótesis para la media son las siguientes:

\begin{cases}H_0: \mu=6\\[2ex] H_1:\mu\neq 6 \end{cases}

Para poder determinar el estadístico de la prueba, primero tenemos que calcular la media de la muestra y la desviación típica de la muestra:

\overline{x}=6,13 \qquad s=1,05

Como no conocemos la varianza de la población, para sacar el estadístico de la prueba tenemos que aplicar la fórmula de la prueba de hipótesis para la media con la varianza desconocida:

\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}

\displaystyle t=\frac{6,13-6}{\displaystyle \frac{1,05}{\sqrt{20}}}

\displaystyle t=0,68

Ahora tenemos que encontrar el valor crítico de la prueba de hipótesis, así que buscamos en la tabla de la distribución t Student el valor correspondiente. Los grados de libertad de la t de Student son uno menos que el tamaño muestral (20-1=19) y, por otro lado, la probabilidad correspondiente es la mitad del nivel de significación (0,05/2=0,025) ya que es una prueba de hipótesis bilateral.

\alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025

\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 19}=2,093\end{array}

En conclusión, como es una prueba de hipótesis bilateral y el valor absoluto del estadístico de la prueba es menor que el valor crítico, no se rechaza la hipótesis nula, sino que se rechaza la hipótesis alternativa.

0,68<2,093 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_1

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias

La prueba de hipótesis para la diferencia de medias se usa para rechazar o aceptar la hipótesis nula de que las medias de dos poblaciones son iguales.

De modo que la hipótesis nula de una prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias siempre es la siguiente:

H_0: \mu_1=\mu_2

Mientras que la hipótesis alternativa puede ser cualquiera de las siguientes tres:

\begin{array}{l}H_1:\mu_1\neq \mu_2\\[2ex]H_1:\mu_1>\mu_2\\[2ex]H_1:\mu_1<\mu_2\end{array}

Entonces, la fórmula para calcular el estadístico de la prueba de hipótesis para la diferencia de medias cuando la varianza es conocida es la siguiente:

\displaystyle Z=\frac{\displaystyle \overline{x_1}-\overline{x_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}

Donde:

  • Z es el estadístico de la prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias con varianza conocida, que sigue una distribución normal estándar.
  • \overline{x_1} es la media de la muestra 1.
  • \overline{x_2} es la media de la muestra 2.
  • \sigma_1^2 es la varianza de la población 1.
  • \sigma_2^2 es la varianza de la población 2.
  • n_1 es el tamaño de la muestra 1.
  • n_2 es el tamaño de la muestra 2.

Por otro lado, la fórmula para calcular el estadístico de la prueba de hipótesis para la diferencia de medias cuando la varianza es desconocida es la siguiente:

\displaystyle t=\frac{\displaystyle \overline{x_1}-\overline{x_2}}{\displaystyle\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}

Donde:

  • t es el estadístico de la prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias con varianza desconocida, que sigue una distribución t Student.
  • \overline{x_1} es la media de la muestra 1.
  • \overline{x_2} es la media de la muestra 2.
  • s_1^2 es la varianza de la muestra 1.
  • s_2^2 es la varianza de la muestra 2.
  • n_1 es el tamaño de la muestra 1.
  • n_2 es el tamaño de la muestra 2.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Ir arriba