Estadístico de contraste

En este post se explica qué es un estadístico de contraste, cuáles son las fórmulas más habituales de los estadísticos de contrastes y, además, la relación entre el estadístico de contraste, la región de rechazo y la región de aceptación.

¿Qué es el estadístico de contraste?

El estadístico de contraste es una variable con una distribución de probabilidad conocida que está relacionada con la hipótesis de estudio. En concreto, el estadístico de contraste se usa en el contraste de hipótesis para rechazar o aceptar la hipótesis nula.

De hecho, la decisión de rechazar o no la hipótesis nula de un contraste de hipótesis se basa en el valor del estadístico de contraste. Si el valor del estadístico de contraste cae en la región de rechazo, se rechaza la hipótesis nula. Mientras que si el valor del estadístico de contraste cae en la región de aceptación, se acepta la hipótesis nula.

Fórmulas de estadísticos de contraste

Según el tipo de contraste de hipótesis, la distribución del estadístico de contraste es diferente. Por lo que la fórmula del estadístico de contraste también depende del tipo de contraste de hipótesis. Así pues, a continuación veremos cómo se calcula el estadístico de contraste según el tipo de contraste de hipótesis.

Estadístico de contraste para la media

La fórmula del estadístico del contraste de hipótesis para la media con varianza conocida es la siguiente:

\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}

Donde:

  • Z es el estadístico del contraste de hipótesis para la media.
  • \overline{x} es la media muestral.
  • \mu es el valor de la media propuesto.
  • \sigma es la desviación estándar de la población.
  • n es el tamaño de la muestra.

Una vez se ha calculado el estadístico del contraste de hipótesis de hipótesis para la media, se debe interpretar el resultado para rechazar o no la hipótesis nula:

  • Si el contraste de hipótesis para la media es de dos colas, se rechaza la hipótesis nula si el valor absoluto del estadístico es mayor que el valor crítico Zα/2.
  • Si el contraste de hipótesis para la media corresponde a la cola derecha, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es mayor que el valor crítico Zα.
  • Si del contraste de hipótesis para la media corresponde a la cola izquierda, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es menor que el valor crítico -Zα.

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

En este caso, los valores críticos se obtienen de la tabla de la distribución normal estandarizada.

Por otro lado, la fórmula del estadístico del contraste de hipótesis para la media con varianza desconocida es la siguiente:

\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}

Donde:

  • t es el estadístico del contraste de hipótesis para la media, el cual está definido por una distribución t Student
    .
  • \overline{x} es la media de la muestra.
  • \mu es el valor de la media propuesto.
  • s es la desviación estándar de la muestra.
  • n es el tamaño de la muestra.

Igual que antes, se debe interpretar el resultado calculado del estadístico del contraste con el valor crítico para rechazar o no la hipótesis nula:

  • Si el contraste de hipótesis para la media es de dos colas, se rechaza la hipótesis nula si el valor absoluto del estadístico es mayor que el valor crítico tα/2|n-1.
  • Si el contraste de hipótesis para la media corresponde a la cola derecha, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es mayor que el valor crítico tα|n-1.
  • Si el contraste de hipótesis para la media corresponde a la cola izquierda, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es menor que el valor crítico -tα|n-1.

\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

Cuando la varianza es desconocida, los valores críticos del contraste se obtienen de la tabla de la distribución t Student.

Estadístico de contraste para la proporción

La fórmula del estadístico del contraste de hipótesis para la proporción es la siguiente:

\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}

Donde:

  • Z es el estadístico de la prueba de hipótesis para la proporción.
  • \widehat{p} es la proporción muestral.
  • p es el valor de la proporción propuesto.
  • n es el tamaño muestral.
  • \displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} es la desviación estándar de la proporción.

Ten presente que no basta con calcular el estadístico de la prueba de hipótesis para la proporción, sino que luego se debe interpretar el resultado:

  • Si el contraste de hipótesis para la proporción es de dos colas, se rechaza la hipótesis nula si el valor absoluto del estadístico es mayor que el valor crítico Zα/2.
  • Si el contraste de hipótesis para la proporción corresponde a la cola derecha, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es mayor que el valor crítico Zα.
  • Si el contraste de hipótesis para la proporción corresponde a la cola izquierda, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es menor que el valor crítico -Zα.

\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}

Recuerda que los valores críticos se pueden obtener fácilmente de la tabla de la distribución normal estándar.

Estadístico de contraste para la varianza

La fórmula para calcular el estadístico del contraste de hipótesis para la varianza es la siguiente:

\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}

Donde:

  • \chi^2 es el estadístico del contraste de hipótesis para la varianza, el cual tiene una distribución chi-cuadrado.
  • n es el tamaño muestral.
  • s^2 es la varianza de la muestra.
  • \sigma^2 es la varianza de la población propuesta.

Para interpretar el resultado del estadístico, se debe comparar el valor obtenido con el valor crítico de la prueba.

  • Si el contraste de hipótesis para la varianza es de dos colas, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es mayor que el valor crítico \chi_{1-\alpha/2|n-1}^2 o si el valor crítico es menor que \chi_{\alpha/2|n-1}.
  • Si el contraste de hipótesis para la varianza corresponde a la cola derecha, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es mayor que el valor crítico \chi_{1-\alpha|n-1}^2.
  • Si el contraste de hipótesis para la varianza corresponde a la cola izquierda, se rechaza la hipótesis nula si el estadístico es menor que el valor crítico \chi_{\alpha|n-1}.

\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}

Los valores críticos del contraste de hipótesis para la varianza se obtienen de la tabla de la distribución chi-cuadrado. Ten en cuenta que los grados de libertad de la distribución chi-cuadrado son el tamaño de la muestra menos 1.

Estadístico de contraste, región de rechazo y región de aceptación

En un contraste de hipótesis, la región de rechazo es aquella región de la gráfica de la distribución del estadístico del contraste que implica el rechazo de la hipótesis nula (y la aceptación de la hipótesis alternativa). Por otro lado, la región de aceptación es aquella región de la gráfica de la distribución del estadístico del contraste que implica la aceptación de la hipótesis nula (y el rechazo de la hipótesis alternativa).

Así pues, el valor del estadístico de contraste determina el resultado de un contraste de hipótesis de la siguiente manera:

  • Si el estadístico de contraste cae dentro de la región de rechazo, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa.
  • Si el estadístico de contraste cae dentro de la región de aceptación, se acepta la hipótesis nula y se rechaza la hipótesis alternativa.

Los valores que separan la región de rechazo de la región de aceptación se llaman valores críticos. Por lo tanto, tenemos que calcular los valores críticos para averiguar los límites de la región de rechazo y la región de aceptación y, en consecuencia, saber cuándo se debe rechazar y cuándo se debe aceptar la hipótesis nula.

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