Distribución muestral de la varianza

En este artículo se explica qué es una distribución muestral de la varianza (o distribución muestral de las varianzas) en estadística. Asimismo, se muestra la fórmula de la distribución muestral de la varianza y un ejercicio resuelto paso a paso.

¿Qué es la distribución muestral de la varianza?

La distribución muestral de la varianza es la distribución que resulta de calcular la varianza de cada muestra posible de una población. Es decir, el conjunto de todas las varianzas muestrales de todas las muestras posibles de una población forman la distribución muestral de la varianza.

O dicho de otra forma, para obtener la distribución muestral de la varianza primero tenemos que seleccionar todas las muestras posibles de una población y luego tenemos que calcular la varianza de cada muestra seleccionada. De manera que el conjunto de varianzas calculadas conforman la distribución muestral de la varianza.

En estadística, la distribución muestral de la varianza sirve para calcular la probabilidad que se tiene de obtener el valor de la varianza poblacional al extraer una sola muestra. Por ejemplo, en el análisis del riesgo de inversiones se utiliza la distribución muestral de la varianza.

Fórmula de la distribución muestral de la varianza

La distribución muestral de la varianza está definida por la distribución de probabilidad chi-cuadrado. Por lo tanto, la fórmula del estadístico de la distribución muestral de la varianza es la siguiente:

\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}

Donde:

  • \chi^2 es el estadístico de la distribución muestral de la varianza, el cual sigue una distribución chi-cuadrado.
  • n es el tamaño muestral.
  • s^2 es la varianza de la muestra.
  • \sigma^2 es la varianza de la población.

Esta fórmula también se usa para el contraste de hipótesis para la varianza.

Ejemplo resuelto de la distribución muestral de la varianza

Ahora que ya hemos visto la definición de la distribución muestral de la varianza y cuál es su fórmula, vamos a resolver un ejemplo paso a paso para acabar de entender el concepto.

  • De una población con varianza conocida σ=5 se escoge una muestra aleatoria de 17 observaciones. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una varianza muestral mayor que 10?

Primero de todo, tenemos que sacar el estadístico de la distribución muestral de la varianza. Así que aplicamos la fórmula explicada en el apartado anterior:

\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}=\cfrac{(17-1)\cdot 10}{5}=32

Como el tamaño de la muestra es n=17, la distribución chi-cuadrado tendrá 16 grados de libertad (n-1). Por lo tanto, la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 10 es equivalente a la probabilidad de tomar un valor de una distribución chi-cuadrado con 16 grados de libertad que sea mayor que 32.

P[s^2>10]=P[\chi_{16}^2>32]

Así pues, buscamos la probabilidad correspondiente en la tabla de la distribución chi-cuadrado y de este modo resolvemos el problema.

P[s^2>10]=P[\chi_{16}^2>32]=0,01

En definitiva, la probabilidad de sacar una muestra con una varianza mayor que 10 es del 1%.

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