Distribucion muestral de la media

En este artículo se explica qué es la distribución muestral de la media en estadística. Asimismo, encontrarás la fórmula de la distribución muestral de la media y un ejercicio resuelto paso a paso.

¿Qué es la distribución muestral de la media?

La distribución muestral de la media (o distribución muestral de medias) es la distribución que resulta de calcular la media muestral de cada muestra posible de una población. Es decir, el conjunto de medias muestrales de todas las muestras posibles de una población forman la distribución muestral de la media.

O dicho con otras palabras, si estudiamos todas las muestras que se pueden extraer de una población y calculamos la media de cada una de las muestras, el conjunto de valores calculados forman una distribución muestral de la media muestral.

En estadística, la distribución muestral de la media sirve para calcular la probabilidad que se tiene de acercarse al valor de la media de la población al analizar una sola muestra.

Fórmula de la distribución muestral de la media

Dada una población que sigue una distribución de probabilidad normal de media \mu y desviación estándar \sigma y se extraen de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de la media también estará definida por una distribución normal con las siguientes características:

\begin{array}{c}\mu_{\overline{x}}=\mu \qquad \sigma_{\overline{x}}=\cfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\\[4ex]\displaystyle N_{\overline{x}}\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \end{array}

Donde \mu_{\overline{x}} es la media de la distribución muestral de la media y \sigma_{\overline{x}} es su desviación típica. Asimismo, \cfrac{\sigma}{\sqrt{n}} es el error estándar de la distribución muestral.

Nota: si la población no sigue una distribución normal pero el tamaño muestral es grande (n>30), la distribución muestral de la media también se puede aproximar a la distribución normal anterior por el teorema central del límite.

Por lo tanto, como la distribución muestral de la media sigue una distribución normal, la fórmula para calcular cualquier probabilidad relacionada con la media de una muestra es la siguiente:

Z=\cfrac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}

Donde:

  • \overline{x} es la media de la muestra.
  • \mu es la media de la población.
  • s es la desviación típica de la población.
  • n es el tamaño de la muestra.
  • Z es una variable definida por la distribución normal estándar N(0,1).

Ejemplo resuelto de la distribución muestral de la media

Después de ver la definición de la distribución muestral de la media y cuáles son sus fórmulas relacionadas, vamos a resolver un ejemplo para entender mejor el concepto.

  • El peso de los estudiantes de una universidad sigue una distribución normal de media 68 kg y desviación estándar 9 kg. Determina:
    1. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 25 alumnos esté por debajo de 66 kg?
    2. Si se extraen 300 muestras con un tamaño de 25 alumnos cada una, ¿cuántas medias muestrales tendrán un valor por debajo de 66 kg?

En primer lugar, tenemos que calcular el valor del estadístico correspondiente, para ello, aplicamos la fórmula que hemos visto más arriba:

\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}=\frac{66-68}{\displaystyle\frac{9}{\sqrt{25}}}=-1,11

De modo que la probabilidad que estamos buscando es la correspondiente al valor Z=-1,11 de la cola izquierda de la distribución normal estándar, que se puede obtener fácilmente de la tabla de probabilidades de Z. Así pues, usamos la tabla de Z para determinar la probabilidad que nos pide el problema:

P[\overline{x}\leq 66]=P[Z\leq -1,11] =0,1335

Ver: Tabla de Z

Ahora que ya sabemos la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria esté por debajo de 66 kg, para saber el número de medias muestrales que están por debajo de 66 kg al sacar 300 muestras iguales tenemos que multiplicar la probabilidad calculada por el número total de muestras tomadas:

0,1335\cdot 300 =40,05 \approx 40

Por lo que aproximadamente 40 de las muestras extraídas tendrán una media por debajo de 66 kg.

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