Distribución muestral de la proporción

En este artículo se explica qué es la distribución muestral de la proporción en estadística. Asimismo, encontrarás la fórmula de la distribución muestral de la proporción y, además, un ejercicio resuelto paso a paso.

¿Qué es la distribución muestral de la proporción?

La distribución muestral de la proporción (o distribución muestral de proporciones) es la distribución que resulta de calcular la proporción de cada muestra posible de una población. Es decir, las proporciones muestrales de todas las muestras posibles de una población forman la distribución muestral de la proporción.

Dicho de otra forma, la distribución muestral de la proporción se obtiene de estudiar todas las muestras que se pueden seleccionar de una población y sacar la proporción muestral de cada muestra. De manera que el conjunto de proporciones muestrales calculadas conforman la distribución muestral de la proporción.

Por si te preguntas para qué sirve la distribución muestral de la proporción, en estadística se utiliza para calcular la probabilidad que se tiene de acercarse al valor de la proporción poblacional al analizar una sola muestra.

Fórmula de la distribución muestral de la proporción

En realidad, al estudiar una proporción de una muestra estamos analizando los casos de éxito, por lo tanto, la variable aleatoria del estudio sigue una distribución de probabilidad binomial.

Según el teorema central del límite, para tamaños grandes (n>30) podemos aproximar una distribución binomial a una distribución normal. Por lo tanto, la distribución muestral de la proporción se aproxima a una distribución normal con los siguientes parámetros:

\begin{array}{c}\displaystyle\mu_{p}=p \qquad \sigma_{p}=\sqrt{\frac{pq}{n}}\\[4ex]\displaystyle N_{p}\left(p, \sqrt{\frac{pq}{n}}\right) \end{array}

Donde p es la probabilidad de éxito y q es la probabilidad de fracaso q=1-p.

Nota: una distribución binomial solo se puede aproximar a una distribución normal si n>30, np\ge 5 y nq\ge 5.

Por lo tanto, como se puede aproximar la distribución muestral de la proporción a una distribución normal, la fórmula para calcular cualquier probabilidad relacionada con la proporción de una muestra es la siguiente:

Z=\cfrac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{pq}{n}}}

Donde:

  • \widehat{p} es la proporción de la muestra.
  • p es la proporción de la población.
  • q es la probabilidad de fracaso de la población, q=1-p.
  • n es el tamaño de la muestra.
  • Z es una variable definida por la distribución normal estándar N(0,1).

Ejemplo resuelto de la distribución muestral de la proporción

Una vez hemos visto la definición de la distribución muestral de la proporción y cuáles son sus fórmulas relacionadas, a continuación se muestra un ejemplo resuelto paso a paso para acabar de entender bien el concepto.

  • Una empresa industrial compra lotes de piezas a una fábrica que afirma producir las piezas con tan solo un 3% de piezas defectuosas. Para comprobarlo, la empresa decide analizar un pedido de 500 piezas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar más del 5% de piezas defectuosas en la muestra?

En este caso, la proporción de la población que queremos estudiar es de 0,03, por lo tanto, el parámetro q es equivalente a 0,97.

\begin{array}{c}p=0,03\\[2ex]q=1-p=0,97\end{array}

Así pues, para hallar la probabilidad que nos piden, tenemos que calcular el estadístico correspondiente aplicando la fórmula que hemos visto en el apartado anterior:

Z=\cfrac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{pq}{n}}}=\cfrac{0,05-0,03}{\displaystyle\sqrt{\frac{0,03\cdot 0,97}{500}}}=2,62

De modo que la probabilidad de obtener más del 5% de piezas defectuosas es equivalente a la siguiente probabilidad:

P\left[\widehat{p}>0,05\right]=P[Z>2,62]=1-P[Z\leq 2,62]

Finalmente, buscamos la probabilidad de P[Z≤2,62] en la tabla de la distribución Z y calculamos la probabilidad que nos pedía el problema:

\begin{array}{l}P\left[\widehat{p}>0,05\right]=\\[2ex]=P[Z>2,62]=\\[2ex]=1-P[Z\leq 2,62]=\\[2ex]=1-0,9956=\\[2ex]=0,0044\end{array}

En conclusión, la probabilidad de encontrar más de 5% piezas defectuosas en la muestra analizada es del 0,44%.

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