Teorema de Chebyshev

En este artículo se explica en qué consiste el teorema de Chebyshev. Aquí encontrarás la fórmula del teorema de Chebyshev, un ejercicio resuelto y, además, una calculadora online del teorema de Chebyshev. Por último, se muestra cuál es la diferencia entre el teorema de Chebyshev y la regla empírica.

¿Qué es el teorema de Chebyshev?

El teorema de Chebyshev, también conocido como desigualdad de Chebyshev, es una regla estadística que sirve para calcular la probabilidad de que un valor de una variable aleatoria esté a una cierta distancia de su media.

Es decir, en estadística el teorema de Chebyshev se utiliza para determinar la probabilidad de que un valor se encuentre dentro de un intervalo de confianza.

Además, el teorema de Chebyshev también se usa para demostrar otros teoremas estadísticos, tales como la ley de los grandes números.

Aunque el teorema de Chebyshev fue formulado por primera vez por el francés Irénée-Jules Bienaymé, el teorema recibe este nombre porque fue el ruso Pafnuty Chebushev quien lo probó en 1867.

Fórmula del teorema de Chebyshev

El teorema de Chebyshev dice que la probabilidad de que un valor esté a k desviaciones típicas de la media es mayor o igual a uno menos el cociente de uno partido por k al cuadrado.

Por lo tanto, la fórmula del teorema de Chebyshev es la siguiente:

\displaystyle P(\mu-k\sigma\leq X \leq \mu+k\sigma)\geq 1 -\frac{1}{k^2}

Donde X es el valor de la variable aleatoria, \mu la media aritmética de la variable, \sigma su desviación típica y k el número de desviaciones típicas de distancia respecto a la media sobre el cual se quiere calcular la probabilidad.

Ten en cuenta que esta fórmula solo se puede utilizar si el número desviaciones típicas sobre el que se hace el cálculo es mayor que 1, o dicho de otra modo, si k es más grande que 1.

k>1

👉 Puedes usar la calculadora online del teorema de Chebyshev que hay más abajo para calcular la probabilidad.

Ejemplo del teorema de Chebyshev

Una vez hemos visto la definición del teorema de Chebyshev y cuál es su fórmula, a continuación tienes un ejemplo resuelto de este teorema estadístico para asimilar mejor el concepto.

  • Si las notas obtenidas en la asignatura de estadística de una universidad están definidas por una distribución de media 65 y desviación típica 10, ¿qué porcentaje de alumnos consiguieron una nota entre 50 y 80?

Para resolver este problema tenemos que aplicar la fórmula del teorema de Chebyshev. Sin embargo, primero debemos determinar a cuántas desviaciones típicas están los valores 50 y 80 respecto a la media de la variable, para ello, simplemente debemos hacer el siguiente cálculo:

k=\cfrac{\text{valor}-\text{media}}{\text{desviaci\'on t\'ipica}}

k=\cfrac{50-65}{10}=-1,5

k=\cfrac{80-65}{10}=1,5

Por lo tanto, los valores 50 y 80 están a 1,5 desviaciones típicas de la media por debajo y por encima respectivamente. Así que usamos la fórmula del teorema de Chebysheva con k=1,5:

\displaystyle P(\mu-k\sigma\leq X \leq \mu+k\sigma)\leq 1 -\frac{1}{k^2}

\displaystyle P(\mu-1,5\sigma\leq X \leq \mu+1,5\sigma)\leq 1 -\frac{1}{1,5^2}

\displaystyle P(50\leq X \leq 80)\leq 0,5556

De modo que como mínimo el 55,56% de alumnos sacaron una calificación entre 50 y 80.

Calculadora del teorema de Chebyshev

Introduce el número de desviaciones típicas entre los valores en cuestión y la media (k), luego haz clic en «Calcular». Seguidamente la calculadora devolverá la probabilidad mínima del intervalo de confianza.

Debes introducir el número de desviaciones típicas utilizando el punto como separador decimal.

  • k =

El teorema de Chebyshev y la regla empírica

Dos conceptos muy relacionados en estadística son el teorema de Chebyshev y la regla empírica, ya que ambos se usan para calcular la probabilidad de intervalos de confianza.

La diferencia entre el teorema de Chebyshev y la regla empírica es que el teorema de Chebyshev se puede usar en cualquier tipo de distribución, en cambio, la regla empírica solo es válida para una distribución normal.

De modo que el uso del teorema de Chebyshev es más amplio, sin embargo, la regla empírica proporciona resultados más precisos para una distribución normal.

Haz clic aquí para ver exactamente en qué consiste la regla empírica:

Ver: regla empírica

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.

Ir arriba