Media aritmética

Aquí te explicamos qué es la media aritmética y cómo se calcula. Encontrarás ejemplos de la media aritmética e, incluso, una calculadora para hallar la media aritmética de cualquier muestra estadística. Finalmente, podrás ver cuáles son las propiedades de este tipo de media y cómo se saca la media aritmética con datos agrupados en intervalos.

¿Qué es la media aritmética?

La media aritmética es un valor central característico de un conjunto de datos estadísticos. Para calcular la media aritmética se suman todos los valores y se divide entre el número total de datos.

Además, la media aritmética es uno de los principales indicadores que se utilizan para hacer un estudio estadístico de una muestra.

De modo que la fórmula de la media aritmética es la siguiente:

media aritmetica

El símbolo de la media aritmética es una ralla horizontal encima de la letra x (\overline{x}). También se puede diferenciar entre la media muestral y la media poblacional con el símbolo de la media: la media de una muestra se expresa con el símbolo \overline{x}, en cambio, para la media de una población se utiliza la letra griega \mu.

Cabe destacar que la media aritmética de una población es equivalente al valor esperado de la variable estadística.

La media aritmética, también llamada promedio aritmético, no es el único tipo de media que existe, también hay la media ponderada, la media cuadrática, la media geométrica y la media armónica, entre otras. Puedes consultar cómo se calcula cada una de ellas en el buscador de nuestra web.

Cómo calcular la media aritmética

Para calcular la media aritmética se deben hacer los siguientes pasos:

  1. Sumar todos los datos estadísticos de la muestra.
  2. Dividir la suma anterior entre el número total de datos.
  3. El resultado obtenido es la media aritmética de la muestra estadística.

👉 Puedes usar la calculadora que hay más abajo para calcular la media aritmética de cualquier conjunto de datos.

Ejemplo de la media aritmética

Vista la definición de la media aritmética, vamos a ver cómo sacar la media aritmética de un conjunto de datos resolviendo un ejemplo paso a paso.

  • Un alumno ha sacado las siguientes notas en un curso escolar: en matemáticas un 9, en lengua un 7, en historia un 6, en economía un 8 y en ciencia un 7,5. ¿Cuál es la media aritmética de todas sus notas?

Para hallar la media aritmética tenemos que sumar todas las notas y luego dividir entre el número total de asignaturas del curso, que es 5. Por lo tanto, aplicamos la fórmula de la media aritmética:

\displaystyle\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{N}

Sustituimos los datos en la fórmula y hacemos el cálculo de la media aritmética:

\overline{x}=\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3

Como puedes ver, en la media aritmética se atribuye a cada valor la misma ponderación, es decir, cada dato tiene el mismo peso dentro del conjunto.

Calculadora de la media aritmética

Introduce los datos de cualquier muestra estadística en la siguiente calculadora para calcular su media aritmética. Los datos deben separase por un espacio e introducirse usando el punto como separador decimal.

Media aritmética para datos agrupados

Por datos agrupados nos referimos a que los datos están estructurados en forma de grupos o intervalos. Esto se suele hacer cuando el tamaño de la muestra estadística es muy grande.

Así pues, el cálculo de la media aritmética varia un poco cuando los datos están agrupados, aunque el concepto es el mismo.

Para calcular la media aritmética de datos agrupados en intervalos se debe multiplicar la marca de clase de cada grupo por su frecuencia absoluta, y luego dividir entre la suma de todas las frecuencias absolutos.

\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N x_i\cdot f_i}{\sum_{i=1}^N f_i} =\frac{x_1\cdot f_1+ x_2\cdot f_2+\dots +x_N\cdot f_N}{N}

Nota: la marca de clase de un intervalo se calcula dividiendo la suma de los extremos del intervalo entre dos. Por ejemplo, la marca de clase del intervalo [3,7) sería:

\cfrac{3+7}{2}=5

Para que veas cómo se hace, a continuación tienes un ejercicio resuelto de la media aritmética para datos agrupados en intervalos:

  • Se quiere estudiar estadísticamente el peso de un colectivo, para ello se ha preguntado a un grupo representativo de 81 personas y se han obtenido los siguientes datos:
datos ejemplo estadistica

Donde xi es la marca de clase de cada grupo y fi su frecuencia absoluta, es decir, el número de personas que tienen un peso dentro de ese intervalo.

Para poder determinar la media aritmética, tenemos que añadir una columna en la tabla de frecuencias que sea el producto de las marcas de clases por sus respectivas frecuencias absolutas:

ejercicio resuelto de media aritmetica para datos agrupados

Entonces, para calcular el promedio aritmético de los datos agrupados simplemente tenemos que dividir el sumatorio de los productos de las marcas de clase por sus frecuencias entre el número total de datos:

\displaystyle\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^N x_i\cdot f_i}{\sum_{i=1}^N f_i} =\frac{4985}{81}=61,54 \text{ kg}

Propiedades de la media aritmética

La media aritmética tiene las siguientes características:

  • La suma de las desviaciones de todos los datos de una distribución respecto a la media da como resultado cero.

\sum_{i=1}^N\left(x_i-\overline{x}\right)=0

  • Si sumamos una misma cantidad a todos los datos de una muestra, la media de la muestra aumenta en dicha cantidad.
  • Lo mismo sucede con la multiplicación, si multiplicamos todos los valores de una muestra por un número, la media de la muestra queda multiplicada por dicho número.
  • La media aritmética solamente se puede calcular en variables cuantitativas. O dicho de otra forma, no se puede sacar la media de variables cualitativas.
  • La media aritmética siempre será un valor comprendido entre el mínimo y el máximo de una distribución.

\text{min}\{x_1,x_2,...,x_N\}\leq \cfrac{x_1+\dots +x_N}{N}\leq \text{max}\{x_1,x_2,...,x_N\}

  • Este tipo de media es muy sensible a los valores muy altos o muy bajos, lo que significa que un valor atípico (outlier) altera considerablemente al resultado de la media aritmética.
  • La media aritmética de un grupo de datos siempre es igual o mayor que la media geométrica del mismo conjunto de datos.

\displaystyle\frac{x_1+x_2+\dots+x_N}{N}\geq \sqrt[N]{x_1+x_2+\dots+x_N}

Calcular la media aritmética con Excel

Calcular la media aritmética en Excel es muy fácil, ya que solo tienes que introducir los datos en una hoja y utilizar la función PROMEDIO.

Por ejemplo, para determinar la media aritmética de los datos del primer ejercicio resuelto que hemos explicado, simplemente debes copiar todos los datos en un documento Excel y escribir la siguiente fórmula en una celda: =PROMEDIO(9;7;5;8;7,5). La función devolverá el promedio aritmético de los datos, que es 7,3.

Evidentemente, es mucho más rápido encontrar la media aritmética de unos números con el programa Excel que calcularla a mano, sobre todo cuando el tamaño de la muestra es muy grande.

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