En este post se explica qué es el teorema central del límite (TCL) y para qué sirve en estadística. También encontrarás cuál es la fórmula del teorema central del límite y un ejemplo de su aplicación resuelto paso a paso.
Índice
¿Qué es el teorema central del límite?
En estadística, el teorema central del límite, también llamado teorema del límite central, establece que la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la distribución de probabilidad de la población.
Es decir, el teorema central del límite dice que si tomamos un número de muestras suficientemente grande, la media de estas muestras se puede aproximar a una distribución normal.
Además, el teorema central del límite afirma que la media muestral se acercará al valor de la media poblacional a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Esto nos permite aproximar los parámetros de la población estadística. Más abajo veremos cómo se hace.
En general, se considera que para poder aplicar el teorema central del límite el tamaño de la muestra debe ser como mínimo de 30 observaciones, aunque depende de las características de la variable estudiada.
El teorema central del límite tiene muchas aplicaciones, ya que la distribución normal permite hacer cálculos estadísticos inferenciales, como contrastes de hipótesis o intervalos de confianza. Por ejemplo, en finanzas el teorema central del límite sirve para analizar el rendimiento y el riesgo de una inversión.
Ejemplo del teorema central del límite
Una vez hemos visto la definición del teorema central del límite, vamos a ver un ejemplo para acabar de entender su significado.
Un ejemplo del teorema central del límite es el lanzamiento de un dado. El lanzamiento de un dado sigue una distribución uniforme discreta, pues todos los resultados son equiprobables. Pero la distribución de la suma de varios resultados se aproxima a una distribución normal.
De modo que cuantos más lanzamientos se hagan, más probable es de que la forma de la distribución de las medias tienda a parecerse a la gráfica de la distribución normal.
Fórmula del teorema central del límite
El teorema central del límite afirma que si una población tiene una media μ y una desviación estándar σ y tomamos un número de muestras suficientemente grande (n≥30), el conjunto de las medias de las muestras se puede aproximar a una distribución normal de media μ y desviación estándar σ/√n.
Además, si X1, X2,…, Xn son n variables aleatorias e idénticamente distribuidas de media μ y desviación estándar σ y n es suficiente grande (n≥30), entonces la variable obtenida de la suma de todas ellas puede aproximarse a una distribución normal definida por la siguiente fórmula:
Ejercicio resuelto del teorema central del límite
Para que puedas asimilar bien el concepto, a continuación te dejamos un ejercicio resuelto del teorema central del límite.
- Una empresa comercializa unas piezas que sirven de recambio para algunos componentes de los juguetes, una pieza de estas tiene de media un peso de 300 g y una desviación estándar de 50 g. Si un cliente ha pedido un lote de 100 piezas, ¿cuál es la probabilidad de que la media de los pesos de las piezas del lote sea mayor que 305 g? ¿Y cuál es la probabilidad de que un lote de 100 piezas pese más de 31 kg?
Como el tamaño del lote es grande (n=100), podemos aplicar el teorema central del límite para resolver el problema.
Así pues, utilizando la fórmula del teorema central del límite, la distribución de las medias de las muestras se puede aproximar a una distribución normal con los siguientes parámetros:
Ahora llevamos a cabo el proceso de tipificación para luego poder hallar la probabilidad que nos pide el ejercicio, para ello, se debe restar la media de la distribución y luego dividir por la desviación estándar:
Entonces, para hallar la probabilidad de que la media de los pesos de las piezas del lote sea mayor que 305 g debemos mirar qué valor corresponde Z>1 en la tabla de la distribución normal:
Por otro lado, gracias al teorema central del límite podemos saber que un lote de 100 piezas puede aproximarse a una distribución normal, pues todas las piezas siguen la misma distribución. Por lo tanto, para determinar la probabilidad de que un lote de 100 piezas pese más de 31kg tenemos que aplicar la otra fórmula del teorema central del límite:
Así pues, volvemos a hacer el proceso de tipificación para luego encontrar la segunda probabilidad que nos pide el problema:
Finalmente, podemos determinar la probabilidad de que un lote de 100 piezas pese más de 31kg utilizando la tabla de la distribución normal:
Hola, en el artículo, al introducir el Teorema central del límite, se afirma que «El teorema central del límite afirma que si una población tiene una media μ y una desviación estándar σ y tomamos un número de muestras suficientemente grande (n≥30) […]». Esto está enunciado de una forma un tanto confusa; creo que sería más correcto decir: «El teorema central del límite afirma que si una población tiene una media μ y una desviación estándar σ y tomamos un número de muestras DE TAMAÑO suficientemente grande (n≥30) […]».
Por lo demás, el artículo está explicado de forma muy clara y el ejemplo es muy didáctico. Un saludo!
Hola Paul,
En este caso no se refiere al tamaño de cada muestra, sino al número de muestras que se toman. Es importante este concepto para entender bien el teorema central del límite.
Excelente y muy didactica la información.
Saludos.