Ley de los grandes números

En este post te explicamos en qué consiste la ley de los grandes números y para qué sirve en probabilidad y estadística. También podrás ver un ejemplo de la aplicación de la ley de los grandes números y, además, cuál es la relación entre esta ley y el teorema central del límite.

¿Qué es la ley de los grandes números?

En teoría de la probabilidad, la ley de los grandes números es una regla que describe el resultado de realizar el mismo experimento un gran número de veces. En concreto, la ley de los grandes números dice que el promedio de los resultados obtenidos de una gran cantidad de ensayos estará cerca del valor esperado.

Además, según la ley de los grandes números, cuantos más experimentos se hagan, más se acercarán los resultados al valor esperado.

Por ejemplo, puede ser que si lanzamos cinco veces una moneda, solo obtengamos una vez cara (20%). Sin embargo, si lanzamos muchas veces la moneda (más de 1000 lanzamientos), prácticamente la mitad de los resultados serán cara (50%) ya que es su valor esperado. Esto es un ejemplo de la ley de los grandes números.

El origen de la ley de los grandes números se encuentra en el siglo XVI con Gerolamo Cardano, no obstante, en el desarrollo de esta ley estadística han participado muchos autores a lo largo de la historia: Bernoulli, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov y Khinchin.

Ejemplo de la ley de los grandes números

Después de ver la definición de la ley de los grandes números, vamos a ver un ejemplo resuelto para entender mejor su significado. En este caso, analizaremos las probabilidades de los posibles resultados que podemos obtener al lanzar un dado.

Existen seis posibles resultados del lanzamiento de un dado (1, 2, 3, 4, 5 y 6), por lo tanto, la probabilidad teórica de cada suceso elemental es:

P=\cfrac{1}{6}=0,167

Así pues, a continuación simularemos el lanzamiento muchas veces y anotaremos los resultados en una tabla de frecuencias para comprobar si se cumple la ley de los grandes números.

Para que puedas ver la importancia del número de experimentos realizados, simularemos primero diez lanzamientos, luego cien, y finalmente mil. Así pues, los resultados obtenidos de la simulación de 10 lanzamientos aleatorios de un dado son los siguientes:

Como puedes comprobar, las probabilidades frecuenciales obtenidas al simular solamente diez lanzamientos no se parecen a las probabilidades teóricas.

Pero a medida que aumentamos el número de experimentos estas dos medidas se parecen más, fíjate en la simulación de 100 lanzamientos:

ejemplo de la ley de los grandes números

Ahora la probabilidad frecuencial calculada para cada número del dado es más similar a su probabilidad teórica, sin embargo, aún obtenemos algunos valores muy distintos.

Por último, hacemos el mismo procedimiento pero simulando 1000 lanzamientos:

ejercicio resuelto de la ley de los grandes números

Como se aprecia en la última tabla, ahora los valores de las probabilidades frecuenciales se acercan mucho a las probabilidades teóricas.

En resumen, a medida aumentamos el número de experimentos realizados, más próximo será el valor de la probabilidad frecuencial de un suceso a su probabilidad de ocurrencia teórica. Por lo tanto, se cumple la ley de los números grandes, pues a medida que hacemos más iteraciones, más se parecen los valores experimentales a los valores teóricos.

Limitación de la ley de los grandes números

La ley de los grandes números se cumple en la gran mayoría de casos, no obstante, hay algunos tipos de distribuciones de probabilidad que no satisfacen este teorema estadístico.

Por ejemplo, la distribución de Cauchy o la distribución de Pareto (α<1) no convergen a medida que el número de ensayos se hace más grande. Esto es debido a las grandes colas de las distribuciones, que provocan que no tengan valor esperado.

Por otro lado, hay algunos experimentos que tienen sesgo debido a sus características, de manera que el investigador tiende a modificar los resultados (queriendo o sin querer) por motivos racionales, psicológicos, económicos, etc. En estos casos, la ley de los grandes números no ayuda a resolver el sesgo, sino que el sesgo permanecerá por mucho que se aumente el número de ensayos.

Ley de los grandes números y teorema central del límite

La ley de los grandes números y el teorema central del límite son dos reglas fundamentales de probabilidad y estadística que están estrechamente relacionadas, por lo que en este apartado veremos cuál es su relación y cuál es su diferencia.

El teorema central del límite, también llamado teorema del límite central, dice que la distribución de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la distribución de probabilidad de la población.

La diferencia entre la ley de los grandes números y el teorema central del límite es que la ley de los grandes números dice que la media de un gran número de ensayos se acerca a su valor esperado, pero el teorema central del límite dice que las medias de un gran número de muestras se aproxima a una distribución normal.

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