Puntuación Z

En este artículo se explica qué es la puntuación Z en estadística. Asimismo, encontrarás cómo calcular la puntuación Z de un valor, ejemplos de su cálculo y cuáles son las características de las puntuaciones Z.

¿Qué es la puntuación Z?

La puntuación Z, o puntaje Z, es una puntuación estadística que indica a cuántas desviaciones estándar de la media se encuentra un valor. Para calcular una puntuación Z de un valor se debe restar la media a dicho valor y luego dividir por la desviación estándar de la muestra de datos.

Por ejemplo, si un valor se encuentra dos desviaciones estándar por debajo de la media aritmética del conjunto de datos, la puntuación Z de ese valor es igual a -2.

Este término estadístico también recibe el nombre de puntuación estándar, estadístico Z o valor Z.

La puntuación Z de un valor resulta muy útil en los contrastes de hipótesis para calcular los límites de los intervalos de confianza y, por lo tanto, de la región de rechazo de la hipótesis nula.

Fórmula de la puntuación Z

La puntuación Z es igual a la diferencia entre el valor y la media del conjunto de datos dividido por la desviación estándar. Por lo tanto, para hallar la puntuación Z primero se debe restar la media al valor y luego dividir el resultado por la desviación estándar.

En definitiva, la fórmula de la puntuación Z es la siguiente:

Z=\cfrac{X-\overline{X}}{\sigma}

Donde Z es la puntuación Z, X_i es el valor del que se calcula el puntaje Z, \overline{X} es la media aritmética y \sigma es la desviación estándar o desviación típica.

La interpretación del valor de la puntuación Z es sencilla: el valor de la puntuación Z indica el número de desviaciones típicas que hay entre un valor y la media. Por lo tanto, cuanto mayor sea el valor absoluto de la puntuación Z, más lejos estará el valor de la media.

Ejemplos de puntuaciones Z

Una vez hemos visto la definición de la puntuación Z, para que puedas entender mejor su significado, en este apartado se procede a resolver un ejemplo en el que se calculan varias puntuaciones Z.

  • Calcula las puntuaciones Z de todos los siguientes datos: 7, 2, 4, 9, 3

En primer lugar, tenemos que hallar la media aritmética de la muestra datos:

\overline{X}=\cfrac{7+2+4+9+3}{5}=5

En segundo lugar, calculamos la desviación estándar de la serie de datos:

\sigma=2,61

Y, por último, aplicamos la fórmula de la puntuación Z para cada dato y realizamos el cálculo de todas las puntuaciones Z:

Z=\cfrac{X-\overline{X}}{\sigma}

Z_1=\cfrac{7-5}{2,61}=0,77

Z_2=\cfrac{7-2}{2,61}=1,92

Z_3=\cfrac{7-4}{2,61}=1,15

Z_4=\cfrac{7-9}{2,61}=-0,77

Z_5=\cfrac{7-3}{2,61}=1,53

La puntuación Z y la regla empírica

En el caso de que la distribución de la muestra sea una distribución normal, gracias a la regla empírica, podemos saber rápidamente a qué porcentaje de valores corresponde un valor calculando su puntuación Z.

Así pues, la regla empírica establece que en cualquier distribución normal se cumple lo siguiente:

  • El 68% de los valores se encuentran a una desviación estándar de la media.
  • El 95% de los valores se encuentran a dos desviaciones estándar de la media.
  • El 99,7% de los valores se encuentran a tres desviaciones estándar de la media.

Por lo tanto, si es una distribución normal, podemos deducir lo siguiente a partir de la regla empírica:

  • Si la puntuación Z es menor que 1, el valor se encuentra entre el 68% de los valores.
  • Si la puntuación Z es mayor que 1 pero menor que 2, el valor se encuentra entre el 95% de los valores.
  • Si la puntuación Z es mayor que 2 pero menor que 3, el valor se encuentra entre el 99,7% de los valores.

Puedes ver más valores de la regla empírica en la siguiente tabla:

Propiedades de las puntuaciones Z

Las puntuaciones Z cumplen con las siguientes propiedades:

  • La media aritmética de todas las puntuaciones Z siempre es igual a 0.
  • La desviación típica de las puntuaciones Z es equivalente a 1.
  • Las puntuaciones Z son adimensionales, ya que las unidades del numerador se cancelan con las unidades del denominador.
  • Si una puntuación Z es positiva, significa que el valor está por encima de la media de la muestra. Por otro lado, si la puntuación Z es negativa quiere decir que el valor está por debajo de la media de la muestra.
  • Las puntuaciones Z son muy útiles para comparar diferentes distribuciones.

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