En este artículo te explicamos cómo calcular la probabilidad de la unión de sucesos. De modo que encontrarás cuál es la fórmula de la probabilidad de la unión de sucesos y, además, ejercicios resueltos paso a paso.
Índice
¿Qué es la unión de sucesos?
En teoría de la probabilidad, la unión de sucesos es una operación con sucesos cuyo resultado está compuesto por todos los sucesos elementales de los conjuntos de la operación. Es decir, la unión de dos sucesos A y B es el conjunto de sucesos que están en A, en B o en ambos.
La unión de dos sucesos se expresa con el símbolo ⋃. Así pues, la unión de los sucesos A y B se escribe A⋃B.
Por ejemplo, en el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado, si un suceso es que salga un número impar A={1, 3, 5} y otro suceso es que salga un número menor que tres B={1, 2}, la unión de los dos sucesos es A⋃B={1, 2, 3, 5}.
Fórmula de la probabilidad de la unión de sucesos
La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la probabilidad del primer suceso, más la probabilidad del segundo suceso, menos la probabilidad de la intersección de los dos sucesos.
Es decir, la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos es P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).
Donde:
es la probabilidad de la unión del suceso A y el suceso B.- es la probabilidad de que ocurra el suceso A.
- es la probabilidad de que ocurra el suceso B.
- es la probabilidad de la intersección del suceso A y el suceso B.
es la probabilidad de la unión del suceso A y el suceso B.
es la probabilidad de que ocurra el suceso A.
es la probabilidad de que ocurra el suceso B.
es la probabilidad de la intersección del suceso A y el suceso B.No obstante, si los dos sucesos son incompatibles, la intersección entre los dos sucesos es nula. En consecuencia, la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles se calcula sumando la probabilidad de ocurrencia de cada suceso.
Ejemplos resueltos de la probabilidad de la unión de sucesos
Para que puedas ver cómo se calcula la probabilidad de la unión de dos sucesos, a continuación te dejamos dos ejemplos resueltos paso a paso. Primero hallaremos la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles y luego de dos sucesos compatibles, pues el cálculo es ligeramente diferente.
Probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles
- Metemos en una caja 10 bolas de color azul, 6 bolas de color naranja y 4 bolas de color verde. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola de color azul o naranja?
El ejercicio nos pide determinar la probabilidad de que suceda un evento u otro, por lo tanto, para resolver el problema tenemos que utilizar la fórmula de la unión de dos sucesos:
Así pues, primero calculamos la probabilidad de que suceda cada evento por separado utilizando la fórmula de la regla de Laplace:
No obstante, en este caso no se pueden dar los dos sucesos a la vez, pues son dos sucesos incompatibles. De manera que si sacamos una bola azul ya no podemos sacar una bola de color naranja, y viceversa.
Por lo tanto, la probabilidad conjunta de ambos sucesos es nula y, por lo tanto, la fórmula se simplifica:
De modo que el cálculo de la probabilidad de coger una bola azul o una bola naranja es el siguiente:
![\begin{aligned}P(\text{bola azul}\cup \text{bola naranja})&=P(\text{bola azul})+P(\text{bola azul})\\[2ex]&=0,5+0,3\\[2ex]&=0,8\end{aligned}](https://www.probabilidadyestadistica.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61e644a293eccb5a22d2a45106e69ba8_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
En definitiva, la probabilidad de sacar una bola azul o naranja de la caja es del 80%.
Probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles
- Si lanzamos una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener «cara» en al menos un lanzamiento?
En este caso los sucesos son compatibles, ya que podemos sacar «cara» en el primer lanzamiento y «cara» en el segundo lanzamiento. Por lo tanto, la fórmula para calcular la probabilidad la unión de los sucesos no se simplifica y es la siguiente:
Entonces, primero tenemos que calcular la probabilidad de obtener «cara» en un lanzamiento aplicando la regla de Laplace:
Ahora calculamos la probabilidad de la intersección de los dos sucesos usando la fórmula de la regla de la multiplicación:
Por último, para hallar la probabilidad de que salga cara en como mínimo uno de los dos lanzamientos solo nos queda sustituir los valores en la fórmula y hacer el cálculo:
![\begin{aligned}P(\text{cara}\cup \text{cara})&=P(\text{cara})+P(\text{cara})-P(\text{cara}\cap \text{cara})\\[2ex]&=0,5+0,5-0,25\\[2ex]&=0,75\end{aligned}](https://www.probabilidadyestadistica.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98b0143523a46757aa9e0057cbafe405_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
En conclusión, la probabilidad de que al lanzar dos veces una moneda salga al menos una vez cara es del 75%.
Propiedades de la unión de sucesos
En teoría de la probabilidad, la operación de la unión de sucesos cumple con las siguientes propiedades:
- Propiedad conmutativa: el orden de los sucesos de la unión no altera el resultado de la operación.
- Propiedad asociativa: la unión de tres sucesos se puede calcular utilizando cualquier orden, pues el resultado es el mismo.
- Propiedad distributiva: la unión de sucesos cumple la propiedad distributiva con la intersección de sucesos.
