Operaciones con sucesos

Aquí te explicamos cuáles son las operaciones que se pueden hacer con sucesos y cómo se calcula cada tipo de operación con sucesos. Además, podrás practicar con ejercicios resueltos paso a paso de las operaciones con sucesos.

Tipos de operaciones con sucesos

En la teoría de la probabilidad, hay tres tipos de operaciones con sucesos, que son las siguientes:

  • Unión de sucesos: es la probabilidad de que ocurra un evento u otro.
  • Intersección de sucesos: es la probabilidad conjunta de dos o más sucesos.
  • Diferencia de sucesos: es la probabilidad de que suceda un suceso pero que otro suceso no ocurra al mismo tiempo.

Solo con la definición de cada tipo de operación con sucesos, es difícil entender cómo se hace cada tipo de operación. Por eso a continuación vamos a explicar las tres operaciones con más detalle.

Unión de sucesos

La unión de dos sucesos A y B es la probabilidad de que ocurra el suceso A, el suceso B o los dos sucesos a la vez.

El símbolo de la unión de dos sucesos diferentes es una U, por lo que la unión de dos sucesos se expresa con una U en medio de las dos letras que representan los sucesos.

A\cup B

La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de la probabilidad de ocurrencia de cada suceso menos la probabilidad de la intersección de ambos sucesos.

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Por ejemplo, vamos a calcular la probabilidad de los sucesos «sacar un número par» o «sacar un número mayor que 4» en el lanzamiento de un dado.

Existen tres posibilidades para conseguir un número par al lanzar el dado (2, 4 y 6), por lo tanto, la probabilidad de ocurrencia del suceso es:

A=\{2,4,6\}

P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5

Por otro lado, solamente hay dos números más grandes que cuatro (5 y 6), así que su probabilidad es:

B=\{5,6\}

P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33

Y la intersección de ambos sucesos son los números que salen en ambos eventos, por tanto:

A\cap B=\{6\}

P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}=0,167

En definitiva, al unir los sucesos A y B, la probabilidad de ocurrencia será:

\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}

Intersección de sucesos

La intersección de dos sucesos A y B es la probabilidad de que los dos sucesos A y B ocurran al mismo tiempo.

El símbolo de la intersección de dos sucesos se representa con una U invertida.

A\cap B

La probabilidad de la intersección de dos sucesos es igual al producto de las probabilidades de cada suceso por separado.

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

Evidentemente, para poder calcular la probabilidad de la intersección de dos sucesos, estos dos tienen que ser compatibles.

A modo de ejemplo, vamos a hallar la probabilidad de la intersección de los eventos «obtener un número par» y «obtener un número mayor que 4» en el lanzamiento de un dado.

Tal y como hemos calculado más arriba, la probabilidad de suceder de cada evento por separado es:

A=\{2,4,6\}

P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5

B=\{5,6\}

P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33

Por lo tanto, la probabilidad de la intersección de los dos eventos será la multiplicación de las probabilidades de cada suceso:

\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}

Diferencia de sucesos

La diferencia de dos sucesos A menos B son todos los sucesos elementales de A que no están en B. Es decir, en la diferencia de dos sucesos A menos B se cumple el suceso A pero no se puede satisfacer simultáneamente el suceso B.

A-B

La probabilidad de la diferencia de dos sucesos A y B es igual a la probabilidad de ocurrencia del suceso A menos la probabilidad de que sucedan los eventos elementales que comparten A y B.

P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)

Siguiendo el mismo ejemplo que en los dos tipos de operaciones anteriores, vamos a determinar la probabilidad de suceder de la diferencia del suceso «obtener un número par» menos «obtener un número mayor que 4» en el lanzamiento de un dado.

Las probabilidades de que sucedan los eventos A, B y su intersección son las siguientes (puedes ver el cálculo detallado más arriba):

A=\{2,4,6\}

P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5

B=\{5,6\}

P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33

A\cap B= \{6\}

P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}= 0,167

De modo que la probabilidad de ocurrencia de la diferencia de los dos sucesos es:

\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}

Como curiosidad, la diferencia de sucesos A-B tiene la propiedad de que también es equivalente a la intersección entre el suceso A y el evento complementario (o contrario) de B.

A-B=A\cap\overline{B}

Ejercicios resueltos de operaciones con sucesos

Ejercicio 1

Si lanzamos un dado con seis caras, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar o un número menor que 3?

En este ejercicio, tenemos que calcular la probabilidad de que suceda un evento u otro, por tanto, debemos hallar la probabilidad de la unión de los dos sucesos.

Así que primero calculamos la probabilidad de obtener un número impar aplicando la ley de Laplace:

 P(\text{n\'umero impar})=\cfrac{3}{6}=0,5

En segundo lugar, determinamos la probabilidad de conseguir un número más pequeño que 3:

 P(\text{n\'umero menor que 3})=\cfrac{2}{6}=0,33

Ahora calculamos la probabilidad de los sucesos elementales que se repiten en los dos sucesos, que es solamente el número 1 (único número impar menor que 3):

 P(\text{n\'umero impar y menor que 3})=\cfrac{1}{6}=0,167

Y, finalmente, aplicamos la fórmula de la unión de dos sucesos para averiguar su probabilidad:

\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}

 

Ejercicio 2

En una caja metemos 3 bolas naranjas, 2 bolas azules y 5 bolas blancas. Hacemos el experimento aleatorio de coger una bola, volverla a meter dentro de la caja, y luego sacar otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de coger una bola azul en la primera extracción y una bola naranja en la segunda?

Para resolver este problema, debemos calcular la intersección de los dos eventos, porque queremos que se cumplan los dos eventos elementales.

De manera que primero calculamos la probabilidad de coger una bola azul aplicando la regla de Laplace:

P(\text{sacar bola azul})=\cfrac{2}{3+2+5}=0,2

Luego hallamos la probabilidad de obtener una bola naranja:

P(\text{sacar bola naranja})=\cfrac{3}{3+2+5}=0,3

Y, por último, calculamos la probabilidad de la intersección de los dos sucesos multiplicando las dos probabilidades encontradas:

\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}

En conclusión, solo existe un 6% de probabilidades de coger una bola azul en el primer intento y una bola naranja en el segundo intento.

 

Ejercicio 3

La probabilidad de que Marta apruebe un examen es de 1/3 y la probabilidad de que apruebe el mismo examen Juan es 2/5. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe Marta y que suspenda Juan?

En este ejercicio tenemos que calcular la diferencia de los dos eventos, pues queremos que se cumpla que Marta apruebe pero Juan no. Para ello, simplemente tenemos que usar la fórmula de este tipo de operación con eventos:

\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}

Así que la probabilidad de que apruebe Marta y, al mismo tiempo, Juan suspenda es del 20%.

 

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.

Ir arriba