▷ Probabilidad de la intersección de sucesos

En este post se explica cómo calcular la probabilidad de la intersección de sucesos. De modo que encontrarás cuál es la fórmula de la probabilidad de la intersección de sucesos y, además, ejercicios resueltos paso a paso.

Índice

¿Qué es la intersección de sucesos?

En teoría de la probabilidad, la intersección de sucesos es una operación de sucesos cuyo resultado está compuesto por los sucesos elementales que son comunes en todos los sucesos de la operación. Es decir, la intersección de los sucesos A y B está formada por todos los sucesos que son de A y de B a la vez.

La intersección de dos sucesos se expresa con el símbolo ⋂. Así pues, la intersección de los sucesos A y B se escribe A⋂B.

Por ejemplo, en el experimento aleatorio del lanzamiento de un dado, si un suceso es que salga un número par A={2, 4, 6} y otro suceso es que salga un número mayor que tres B={4, 5, 6}, la intersección de los dos sucesos es A⋂B={4, 6}.

Fórmula de la probabilidad de la intersección de sucesos

La probabilidad de la intersección de dos sucesos es igual a la probabilidad de que ocurra un suceso multiplicado por la probabilidad condicional de que ocurra el otro suceso dado el primer suceso.

Por lo tanto, la fórmula de la probabilidad de la intersección de dos sucesos es P(A⋂B)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B).

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

Donde:

$A$ y $B$ son dos sucesos dependientes.
$P(A\cap B)$ es la probabilidad de la intersección del suceso A y el suceso B.
$P(A)$ es la probabilidad de que ocurra el suceso A.
$P(B|A)$ es la probabilidad condicional de que ocurra el suceso B dado el suceso A.
$P(B)$ es la probabilidad de que ocurra el suceso B.
$P(A|B)$ es la probabilidad condicional de que ocurra el suceso A dado el suceso B.

➤ Ver: Probabilidad condicional (o probabilidad condicionada)

No obstante, si los dos sucesos son independientes, significa que la probabilidad de ocurrencia de un suceso no depende de si ocurre el otro suceso. En consecuencia, la fórmula de la probabilidad de la intersección de los dos sucesos independientes es la siguiente:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Donde:

$A$ y $B$ son dos sucesos independientes.
$P(A\cap B)$ es la probabilidad de la intersección del suceso el evento A y el suceso B.
$P(A)$ es la probabilidad de que ocurra el suceso A.
$P(B)$ es la probabilidad de que ocurra el suceso B.

➤ Ver: Sucesos independientes

Ejemplos resueltos de la probabilidad de la intersección de sucesos

A continuación te dejamos dos ejemplos resueltos paso a paso para que veas cómo se calcula la probabilidad de la intersección de dos sucesos. Primero veremos un ejemplo de la intersección de dos sucesos independientes y luego de dos sucesos dependientes, así podrás ver los dos casos.

Probabilidad de la intersección de dos sucesos independientes

Se procede a hacer el lanzamiento de una moneda tres veces seguidas. Calcula la probabilidad de obtener cara en los tres lanzamientos.

En este caso, los sucesos de los cuales queremos calcular la probabilidad conjunta son independientes, ya que el resultado del lanzamiento de una moneda no depende del resultado obtenido en el lanzamiento anterior. Por lo tanto, para determinar la probabilidad de obtener tres veces consecutivas cara debemos utilizar la fórmula de la probabilidad de la intersección para sucesos independientes:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

En el lanzamiento de una moneda solo hay dos posibles resultados, podemos obtener cara o cruz. Por lo tanto, la probabilidad de obtener cara o cruz al lanzar una moneda es:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

Así pues, para hallar la probabilidad de obtener cara en los tres lanzamientos de moneda tenemos que multiplicar tres veces la probabilidad de sacar cara por sí misma:

$\begin{aligned}P(\text{cara}\cap \text{cara}\cap \text{cara})&=P(\text{cara})\cdot P(\text{cara})\cdot P(\text{cara})\\[2ex]&=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5\\[2ex]&=0,125\end{aligned}$

En definitiva, la probabilidad de conseguir tres veces cara de manera consecutiva es del 12,5%.

Probabilidad de la intersección de dos sucesos dependientes

En una caja vacía ponemos 8 bolas azules, 4 bolas naranjas y 2 bolas verdes. Si sacamos primero una bola y después otra bola sin volver a poner la primera bola extraída dentro de la caja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola sea azul y la segunda bola sea naranja?

En este caso los sucesos son dependientes, porque la probabilidad de coger una bola naranja en la segunda extracción depende de qué color sea la bola sacada en la primera extracción. Por lo tanto, para calcular la probabilidad que nos pide el problema debemos usar la fórmula de la probabilidad de la intersección para eventos dependientes:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

La probabilidad de obtener una bola azul en la primera extracción es fácil de determinar, basta con dividir el número de bolas azules por el número total de bolas:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{8}{8+4+2}=\cfrac{8}{14}=0,57$

Por otro lado, la probabilidad de sacar una bola naranja tras haber cogido una bola azul se calcula diferente porque el número de bolas naranjas es distinto y, además, ahora hay una bola menos dentro de la caja:

$P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\cfrac{4}{7+4+2}=\cfrac{4}{13}=0,31$

Así pues, la probabilidad de primero extraer una bola azul y luego una bola naranja se calcula multiplicando las dos probabilidades halladas más arriba:

$\begin{array}{l}P(\text{bola azul}\cap\text{bola naranja})=\\[2ex]=P(\text{bola azul})\cdot P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\\[2ex]=0,57\cdot 0,31= \\[2ex]=0,18\end{array}$