Media, mediana y moda

En este artículo se explica qué son la media, la mediana y la moda. Encontrarás cómo sacar la media, la mediana y la moda, para qué sirven, y cuál es la diferencia entre estas tres medidas estadísticas. Además, podrás calcular la media, la mediana y la moda de cualquier muestra estadística con la calculadora online del final.

¿Qué es la media, la mediana y la moda?

La media, la mediana y la moda son medidas estadísticas de posición central. Es decir, la media, la mediana y la moda son valores que ayudan a definir una muestra estadística, en concreto, indican cuáles son sus valores centrales.

La media, la mediana y la moda se definen de la siguiente manera:

  • Media: es el promedio de todos los datos de la muestra.
  • Mediana: es el valor del medio de todos los datos ordenados de menor a mayor.
  • Moda: es el valor que más se repite del conjunto de datos.

A continuación, se explican estas tres métricas estadísticas más detalladamente.

Media

Para calcular la media se deben sumar todos los valores y luego dividir entre el número total de datos. Por lo tanto, la fórmula de la media es la siguiente:

\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}

👉 Puedes utilizar la calculadora que hay más abajo para calcular la media, la mediana y la moda de cualquier conjunto de datos.

El símbolo de la media es una ralla horizontal encima de la letra x (\overline{x}). También se puede diferenciar entre la media muestral y la media poblacional con el símbolo de la media: la media de una muestra se expresa con el símbolo \overline{x}, mientras que la media de una población se utiliza la letra griega \mu.

La media también se conoce como media aritmética o promedio. Además, la media de una distribución estadística es equivalente a su esperanza matemática.

Ejemplo de la media

  • Un alumno ha sacado las siguientes notas en un curso escolar: en matemáticas un 9, en lengua un 7, en historia un 6, en economía un 8 y en ciencia un 7,5. ¿Cuál es la media de todas sus notas?

Para hallar la media aritmética tenemos que sumar todas las notas y luego dividir entre el número total de asignaturas del curso, que es 5. Por lo tanto, aplicamos la fórmula de la media aritmética:

\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}

Sustituimos los datos en la fórmula y hacemos el cálculo de la media aritmética:

\overline{x}=\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3

Como puedes ver, en la media aritmética se atribuye a cada valor la misma ponderación, es decir, cada dato tiene el mismo peso dentro del conjunto.

Mediana

La mediana es el valor del medio de todos los datos ordenados de menor a mayor. Es decir, la mediana divide todo el conjunto de datos ordenados en dos partes iguales.

El cálculo de la mediana depende de si el número total de datos es par o impar:

  • Si el número total de datos es impar, la mediana será el valor que está justo en el medio de los datos. Es decir, el valor que está en la posición (n+1)/2 de los datos ordenados.
  • Me=x_{\frac{n+1}{2}

  • Si el número total de datos es par, la mediana será la media de los dos datos que están en el centro. Esto es, la media aritmética de los valores que están en la posiciones n/2 y n/2+1 de los datos ordenados.
  • Me=\cfrac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}

Donde n es el número total de datos de la muestra.

Se suele usar el término Me como símbolo para indicar que un valor es la mediana de todas las observaciones.

👉 Puedes utilizar la calculadora que hay más abajo para calcular la media, la mediana y la moda de cualquier conjunto de datos.

Ejemplo de la mediana

  • Calcula la mediana de los siguientes datos: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5

Lo primero que debemos hacer antes de realizar ningún cálculo es ordenar los datos, por lo que ponemos los números de menor a mayor.

1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 4 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 8

En este caso tenemos 11 observaciones, así que el número total de datos es impar. Por lo tanto, aplicamos la siguiente fórmula para calcular la posición de la mediana:

\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{11+1}{2}=6

De manera que la mediana será aquel dato que está en la sexta posición, que en este caso corresponde al valor 4.

Me=x_6=4

Moda

En estadística, la moda es el valor del conjunto de datos que tiene una mayor frecuencia absoluta, es decir, la moda es el valor que más se repite de un conjunto de datos.

Por lo tanto, para calcular la moda de un conjunto de datos estadísticos basta con contar el número de veces que aparece cada dato en la muestra, y el dato más repetido será la moda.

La moda también se puede decir moda estadística o valor modal. Asimismo, cuando los datos están agrupados en intervalos, el intervalo más repetido es el intervalo modal o clase modal.

En general, se utiliza el término Mo como símbolo de la moda estadística, por ejemplo, la moda de la distribución X es Mo(X).

Se pueden distinguir tres tipos de modas según el número de valores que están más repetidos:

  • Moda unimodal: solo hay un valor con el máximo número de repeticiones. Por ejemplo, [1, 4, 2, 4, 5, 3].
  • Moda bimodal: el máximo número de repeticiones se produce en dos valores diferentes y ambos valores se repiten el mismo número de veces. Por ejemplo, [2, 6, 7, 2, 3, 6, 9].
  • Moda multimodal: tres o más valores tienen el mismo número máximo de repeticiones. Por ejemplo, [3, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 1, 4, 5, 2, 1].

👉 Puedes utilizar la calculadora que hay más abajo para calcular la media, la mediana y la moda de cualquier conjunto de datos.

Ejemplo de la moda

  • ¿Cuál es la moda del siguiente conjunto de datos?

5 \ 4 \ 9 \ 7 \ 2 \ 3 \ 9 \ 6 \ 5 \ 2 \ 5

Los números están desordenados, así que primero que haremos será ordenarlos. Este paso no es obligatorio, pero te ayudará a encontrar la moda más fácilmente.

2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 7 \ 9 \ 9

Los números 2 y 9 aparecen dos veces, pero el número 5 está repetido tres veces. Por lo tanto, la moda de la serie de datos es el número 5.

Mo=5

Ejercicio resuelto de la media, la mediana y la moda

Ahora que ya sabes en qué consisten la media, la mediana y la moda, a continuación tienes un ejercicio resuelto de estas métricas estadísticas para que puedas ver exactamente cómo se calculan.

  • Halla la media, la mediana y moda del siguiente conjunto de datos estadísticos:

 8 \ 7 \ 0 \ 6 \ 10 \ 9 \ 13 \ 8 \ 0 \ 6 \ 2 \ 6 \ 5 \ 11 \ 10

0 \ 9 \ 8 \ 6 \ 12 \ 3 \ 5 \ 11 \ 1 \ 4 \ 8 \ 10 \ 2 \ 5 \ 7

Para determinar la media de los datos tenemos que sumarlos todos y luego dividir entre el número total de datos, que es 30:

\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}=\frac{192}{30}=6,4

En segundo lugar, vamos a averiguar la mediana de la muestra. Así que ponemos todos los números en orden creciente:

0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 6 \ 6 \ 6

7 \ 7 \ 8 \ 8 \ 8 \ 8 \ 9 \ 9 \ 10 \ 10 \ 10 \ 11 \ 11 \ 12 \ 13

En este caso, el número total de datos es par, por lo que debemos calcular las dos posiciones centrales entre las cuales se encontrará la mediana. Para ello utilizamos las siguientes dos fórmulas:

\cfrac{n}{2}=\cfrac{30}{2}=15

\cfrac{n}{2}+1=\cfrac{30}{2}+1=16

Así que la mediana estará entre la decimoquinta y la decimosexta posición, que corresponden a los valores 6 y 7 respectivamente. En concreto, la mediana es equivalente a la media de dichos valores:

Me=\cfrac{x_{15}+x_{16}}{2}=\cfrac{6+7}{2}=6,5

Por último, para hallar la moda simplemente tenemos que contar todas las veces que aparece cada número. Como puedes comprobar, el número 6 y el número 8 aparecen un total de cuatro veces, que es el máximo número de repeticiones. Por lo tanto, en este caso se trata de una moda bimodal y ambos números son la moda del conjunto de datos:

Mo=\{ 6 \ ; \ 8\}

Calculadora de la media, mediana y moda

Introduce los datos de cualquier muestra estadística en la siguiente calculadora online para calcular su media, su mediana y su moda. Los datos deben separase por un espacio e introducirse usando el punto como separador decimal.

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