Mediana

En este artículo se explica qué es la mediana de un conjunto de datos y cómo sacar la mediana para datos sin agrupar y en datos agrupados. Además, podrás calcular la mediana de cualquier serie de datos con la calculadora online que hay al final.

¿Qué es la mediana?

En estadística, la mediana es el valor del medio de todos los datos ordenados de menor a mayor. Es decir, la mediana divide todo el conjunto de datos ordenados en dos partes iguales.

La mediana es una medida de posición central que sirve para describir una distribución de probabilidad.

mediana

👉 Puedes usar la calculadora que hay más abajo para calcular la mediana de cualquier conjunto de datos.

En general, suele usarse el término Me como símbolo de la mediana.

Las otras medidas de posición central son la media y la moda, más abajo veremos las diferencias entre ellas. Asimismo, las métricas de posición no central son los cuartiles, los quintiles, los deciles, los percentiles, etc.

Cabe destacar que la mediana de un conjunto de datos coincide con el segundo cuartil, con el quinto decil y el percentil 50.

Cómo calcular la mediana

El cálculo de la mediana depende de si el número total de datos es par o impar:

  • Si el número total de datos es impar, la mediana será el valor que está justo en el medio de los datos. Es decir, el valor que está en la posición (n+1)/2 de los datos ordenados.
  • Me=x_{\frac{n+1}{2}

  • Si el número total de datos es par, la mediana será la media de los dos datos que están en el centro. Esto es, la media aritmética de los valores que están en la posiciones n/2 y n/2+1 de los datos ordenados.
  • Me=\cfrac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}

Donde n es el número total de datos de la muestra.

Ejemplos del cálculo de la mediana

Para que puedas ver cómo se calcula la mediana, a continuación tienes dos ejemplos resueltos, uno para cada caso. En primer lugar se calculará la mediana de un conjunto de datos impar y, posteriormente, se realizará el cálculo de la mediana con una serie de datos par.

Mediana de datos impares

  • Calcula la mediana de los siguientes datos: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5

Lo primero que debemos hacer antes de realizar ningún cálculo es ordenar los datos, por lo que ponemos los números de menor a mayor.

1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 4 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 8

En este caso tenemos 11 observaciones, así que el número total de datos es impar. Por lo tanto, aplicamos la siguiente fórmula para calcular la posición de la mediana:

\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{11+1}{2}=6

De manera que la mediana será aquel dato que está en la sexta posición, que en este caso corresponde al valor 4.

Me=x_6=4

Mediana de datos pares

  • ¿Cuál es la mediana de las siguientes observaciones? 2, 6, 2, 8, 9, 4, 7, 11, 4, 13

Para poder sacar la mediana, primero tenemos que poner por orden creciente todos los datos:

2 \ 2 \ 4 \ 4 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9 \ 11 \ 13

Este ejemplo es diferente al anterior, ya que esta vez tenemos un total de 10 observaciones, que es un número par. En consecuencia, el procedimiento para determinar la media es un poco más complicado.

Primero tenemos que calcular las dos posiciones centrales entre las cuales se encontrará la mediana, para ello debemos aplicar las siguientes dos fórmulas:

\cfrac{n}{2}=\cfrac{10}{2}=5

\cfrac{n}{2}+1=\cfrac{10}{2}+1=6

Así que la mediana estará entre la quinta y la sexta posición, que corresponden a los valores 6 y 7 respectivamente. En concreto, la mediana será la media aritmética de dichos valores:

Me=\cfrac{x_5+x_6}{2}=\cfrac{6+7}{2}=6,5

Calculadora de la mediana

Introduce un conjunto de datos estadísticos en la siguiente calculadora para calcular su mediana. Los datos deben separase por un espacio e introducirse usando el punto como separador decimal.

Mediana para datos agrupados

Para calcular la mediana cuando los datos están agrupados en intervalos primero debemos encontrar el intervalo o clase en el que se encuentra la mediana utilizando la siguiente fórmula:

\cfrac{n+1}{2}

Así pues, la mediana estará en el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea inmediatamente superior al número obtenido con la expresión algebraica anterior.

Y una vez sabemos el intervalo al que pertenece la mediana, tenemos que aplicar la siguiente fórmula para hallar el valor exacto de la mediana:

Me=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{n+1}{2}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i

Donde:

  • Li es el límite inferior del intervalo en el que se halla la mediana.
  • n es el número total de observaciones.
  • Fi-1 es la frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior.
  • fi es la frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra la mediana.
  • Ii es la amplitud del intervalo de la mediana.

A modo de ejemplo, a continuación tienes resuelto un ejercicio en el que se calcula la mediana de unos datos agrupados en intervalos

datos agrupados mediana

Para hallar la mediana del conjunto de datos, primero tenemos que determinar el intervalo en el que se encuentra. Para ello, usamos la siguiente fórmula:

\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{30+1}{2} =15,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [60,70)

De manera que la mediana estará en el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea inmediatamente superior a 15,5, que en este caso es el intervalo [60,70) cuya frecuencia absoluta acumulada es 26. Y una vez conocemos el intervalo de la mediana, aplicamos la segunda fórmula del proceso:

Me=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{n+1}{2}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i

Me=60+\cfrac{\displaystyle\frac{30+1}{2}-15}{11}\cdot 10=60,45

En definitiva, la mediana del conjunto de datos agrupados es 60,45. Como puedes ver, en este tipo de problemas la mediana suele ser un número decimal.

Mediana, media y moda

En este último apartado veremos cuál es la diferencia entre la mediana, la media y la moda. Pues son tres métricas estadísticas de posición central pero su significado es distinto.

Como hemos visto, la mediana se define como el valor que ocupa la posición central cuando los datos están ordenados.

Por otro lado, la media es el valor promedio de todos los datos estadísticos. Para calcular la media se debe hacer el sumatorio de todos los datos y luego dividir el resultado entre el número de datos.

Finalmente, la moda es el valor más repetido de una serie de datos.

Como puedes comprobar, las tres medidas estadísticas ayudan a describir una distribución de probabilidad, ya que permiten hacerse una idea de sus valores centrales. Sin embargo, no hay una métrica que sea mejor que otra, sino que simplemente significan conceptos diferentes.

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