Esperanza matemática (o valor esperado)

En este artículo se explica qué es y cómo se calcula la esperanza matemática (o valor esperado) de una variable aleatoria. Encontrarás un ejercicio resuelto de la esperanza matemática. Además, podrás hallar la esperanza matemática de cualquier conjunto de datos con una calculadora online.

¿Qué es la esperanza matemática (o valor esperado)?

En estadística, la esperanza matemática, también llamada valor esperado, es un número que representa el valor medio de una variable aleatoria. La esperanza matemática es igual al sumatorio de todos los productos formados por los valores de los sucesos aleatorios y sus respectivas probabilidades de suceder.

El símbolo de la esperanza matemática es la E mayúscula, por ejemplo, la esperanza matemática de la variable estadística X se representa como E(X).

Asimismo, el valor de la esperanza matemática de un conjunto de datos coincide con su media (media poblacional).

Cómo calcular la esperanza matemática

Para calcular la esperanza matemática de una variable discreta se deben hacer los siguientes pasos:

  1. Multiplicar cada posible suceso por su probabilidad de ocurrencia.
  2. Sumar todos los resultados obtenidos en el paso anterior.
  3. El valor obtenido es la esperanza matemática (o valor esperado) de la variable.

De modo que la fórmula para calcular la esperanza matemática (o valor esperado) de una variable discreta es la siguiente:

esperanza matematica o valor esperado

👉 Puedes usar la calculadora que hay más abajo para calcular la esperanza matemática de cualquier conjunto de datos.

Ten en cuenta que la fórmula anterior solamente se puede utilizar si la variable aleatoria es discreta (la mayoría de los casos). Pero si la variable es continua debemos utilizar la siguiente fórmula para sacar la esperanza matemática:

\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx

Donde f_x es la función de densidad de la variable continua X.

Ejemplo de la esperanza matemática

Vista la definición de la esperanza matemática (o valor esperado), a continuación tienes un ejemplo resuelto para que veas cómo se hace el cálculo.

  • Una persona participa en un juego en el que puede ganar o perder dinero según el número que salga al lanzar un dado. Si sale un 1 gana $800, si sale un 2 o un 3 pierde $500, y si sale un 4, un 5 o un 6, gana $100. El precio por participar es de $50. ¿Recomendarías la participación en este juego de probabilidades?

Lo primero que debemos hacer es determinar la probabilidad de cada suceso. Como un dado tiene seis caras, la probabilidad de obtener cualquier número es:

p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}

Por lo tanto, la probabilidad de ocurrencia de cada suceso es:

p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}

p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}

p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}

Ahora que ya sabemos la probabilidad de que ocurra cada evento, aplicamos la fórmula de la esperanza matemática:

\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i

Y hacemos el cálculo de la esperanza matemática (o valor esperado):

E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67

El valor de la esperanza matemática es menor que el precio por participar en este juego, por lo tanto, sería mejor no jugar ya que a la larga se acabará perdiendo dinero. Puede ser que si solo participas una vez toque un 1 y entonces saques un gran beneficio, pero la probabilidad de obtener pérdidas a largo plazo es alta.

Cabe destacar que el resultado de la esperanza matemática a veces es un valor imposible, por ejemplo, en este caso no se puede obtener $16,67.

Calculadora de la esperanza matemática

Introduce un conjunto de datos estadísticos en la siguiente calculadora para calcular la esperanza matemática. Debes poner en el primer recuadro el valor de cada suceso y en el segundo recuadro su probabilidad de ocurrencia en el mismo orden.

Los datos deben separase por un espacio e introducirse usando el punto como separador decimal.

  • Valor de cada suceso:
  • Probabilidad de cada suceso:

Propiedades de la esperanza matemática

Las propiedades de la esperanza matemática son las siguientes:

  • La esperanza matemática de una constante es ella misma.

E(k)=k

  • La esperanza matemática de una variable aleatoria multiplicada por un escalar es igual a la esperanza matemática de dicha variable por dicho escalar.

E(k\cdot X)=k\cdot E(X)

  • La esperanza matemática de la suma de dos variables es equivalente a la suma de las esperanzas matemáticas de cada variable.

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

  • En general, al multiplicar dos variables se obtiene una esperanza matemática diferente. El resultado solo es idéntico si las variables son independientes.

E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)

  • Si todos los valores de una variable son mayores o iguales a cero, entonces la esperanza matemática de dicha variable también es positiva o igual a cero.

X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0

  • Si todos los valores de una variable son menores que todos los valores de otra variable, la esperanza matemática de las dos variables tienen la misma relación.

X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)

  • Si se sabe que una variable está acotada por dos valores, lógicamente su esperanza matemática también esta acotada.

a<X<b \ \longrightarrow \ a<E(X)<b

  • Si una variable es la combinación lineal de otra variable, sus esperanzas matemáticas cumplen la misma relación algebraica:

Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)

¿Para qué sirve la esperanza matemática?

En este último apartado profundizaremos en el significado de la esperanza matemática. En concreto, vamos a ver para qué se utiliza este medida estadística y así entenderemos mejor el concepto.

La esperanza matemática (o valor esperado) sirve para tener un valor de la cantidad que se espera ganar o perder a largo plazo en un espacio probabilístico. Es decir, la esperanza matemática indica el retorno que se obtendrá a largo plazo.

Cuando alguien está meditando si hacer una inversión, como por ejemplo comprar acciones de una empresa, una de las métricas que debe considerar es la esperanza matemática. Ya que si hiciera muchísimas veces esa inversión, el retorno económico que obtendría sería el valor de la esperanza matemática. Se puede considerar como una media de las ganancias obtenidas.

Asimismo, la esperanza matemática también se usa en otros campos como la econometría, la física cuántica, el trading o incluso la biología.

6 comentarios en “Esperanza matemática (o valor esperado)”

  2. Marcelo Carrasco

    Muchas gracias por la clara y precisa ejercitación, presentación de las propiedades y definición. Me ayuda a mejorar frente a mis estudiantes.

    Responder

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