Intervalo de confianza para la varianza

En este post se explica qué es el intervalo de confianza para la varianza y para qué sirve en estadística. Asimismo, encontrarás cómo calcular el intervalo de confianza para la varianza y ejercicio resuelto paso a paso.

¿Qué es el intervalo de confianza para la varianza?

El intervalo de confianza para la varianza es un intervalo que da una aproximación de los valores entre los cuales se encuentra la varianza de una población. Es decir, el intervalo de confianza para la varianza indica el valor máximo y el valor mínimo de la varianza poblacional para un nivel de confianza.

Por ejemplo, si el intervalo de confianza del 95% para la varianza de una población es (55,75), significa que la varianza poblacional estará entre 55 y 75 con una probabilidad del 95%.

Por lo tanto, el intervalo de confianza para la varianza sirve para estimar dos valores entre los cuales está la varianza de la población. La varianza muestral se puede calcular pero la varianza poblacional generalmente se desconoce, así que el intervalo de confianza para la varianza permite hacer una aproximación de su valor.

Fórmula del intervalo de confianza para la varianza

Para calcular el intervalo de confianza para la varianza de una población se utiliza la distribución chi-cuadrada. En concreto, la fórmula para calcular el intervalo de confianza para la varianza es la siguiente:

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

Donde:

  • n es el tamaño de la muestra.
  • s es la desviación típica de la muestra.
  • \chi_{n-1;\alpha/2} es el valor de la distribución chi-cuadrado con n-1 grados de libertad para una probabilidad inferior a α/2.
  • \chi_{n-1;1-\alpha/2} es el valor de la distribución chi-cuadrado con n-1 grados de libertad para una probabilidad superior a 1-α/2.

Ejemplo del cálculo del intervalo de confianza para la varianza

Para que puedas entender mejor el concepto, en este apartado te dejamos con un ejemplo resuelto de cómo se calcula el intervalo de confianza para la varianza.

  • Tenemos una muestra con 8 observaciones con los valores mostrados a continuación. ¿Cuál es el intervalo de confianza para la varianza de la población con un nivel de confianza del 1-α=95%?

206  203  201  212
194  176  208  201

Tal y como se ha explicado más arriba, la fórmula que nos permite determinar el intervalo de confianza para la varianza poblacional es la siguiente:

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

Así pues, para hallar el intervalo de confianza primero debemos calcular la desviación típica de la muestra:

s=11,13

En segundo lugar, miramos en la tabla de la distribución chi-cuadrado cuáles son sus valores correspondientes que necesitamos:

\begin{array}{c}\chi_{n-1;\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[2ex]\chi_{_{7;0,025}}=16,013\end{array}

\begin{array}{c}\chi_{n-1;1-\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[2ex]\chi_{_{7;0,975}}=1,690\end{array}

De modo que sustituimos los valores en la fórmula del intervalo de confianza para la varianza y hacemos los cálculos:

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

\displaystyle \left( (8-1)\frac{11,13^2}{16,013} \ , \ (8-1)\frac{11,13^2}{1,690}\right)

\displaystyle \left( 54,15 \ , \ 513,10\right)

En conclusión, la varianza de la población estudiada se encuentra entre 54,15 y 513,10 con un nivel de confianza del 95%.

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