Desviación estándar y varianza

En este post te explicamos qué son la desviación estándar (o desviación típica) y la varianza. Así pues, encontrarás cómo se calcula la desviación estándar y la varianza junto con ejercicios resueltos. Además, podrás calcular la desviación estándar y la varianza de cualquier conjunto de datos con una calculadora online que hay al final del post.

Desviación estándar (o desviación típica)

La desviación estándar, también llamada desviación típica, es una medida de dispersión estadística. De manera que la desviación estándar es un valor que indica la dispersión de un conjunto de datos estadísticos.

La desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones de la serie de datos partido por el número total de observaciones.

Por lo tanto, la fórmula de la desviación estándar es la siguiente:

\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^2}{N}}

Cuanto mayor sea la desviación estándar de un conjunto de datos, significa que más lejos están los datos de la media. Y la interpretación también se puede hacer al revés, si la desviación estándar es baja quiere decir que en general los datos están muy cerca de su media.

Ejemplo del cálculo de la desviación estándar

  • Calcula la desviación estándar de los siguientes valores: 3, 6, 2, 9, 4.

Lo primero que debemos hacer es determinar el promedio de la muestra. Para ello, sumamos todos los datos y dividimos entre el número total de observaciones, que es cinco:

\overline{x}=\cfrac{3+6+2+9+4}{5}=4,8

Ahora usamos la fórmula de la desviación estándar:

\displaystyle\sigma=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^2}{N}}

Sustituimos los datos en la fórmula:

\displaystyle\sigma =\sqrt{\frac{(3-4,8)^2+(6-4,8)^2+(2-4,8)^2+(9-4,8)^2+(4-4,8)^2}{5}}

Y finalmente hacemos el cálculo de la desviación estándar:

\begin{aligned}\displaystyle\sigma & = \sqrt{\frac{(-1,8)^2+1,2^2+(-2,8)^2+4,2^2+(-0,8)^2}{5}}\\[2ex]&=\sqrt{\frac{3,24+1,44+7,84+17,64+0,64}{5}}\\[2ex]&= \sqrt{\frac{30,8}{5}}=\sqrt{6,16}=2,48 \end{aligned}

Varianza

La varianza es igual a la suma de los cuadrados de los residuos partido por el número total de observaciones. Así que la fórmula de la varianza es la siguiente:

Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n}

En general, la interpretación de la varianza es similar a la desviación estándar. Cuanto más grande sea el valor de la varianza, más dispersos están los datos, es decir, en general más lejos están de la media. Y al revés, cuanto más pequeña sea el valor de la varianza, menos dispersión habrá en la serie de datos.

Ejemplo del cálculo de la varianza

  • De una empresa multinacional se conoce el resultado económico que ha tenido durante los últimos cinco años, en la mayoría ha obtenido beneficios pero un año presentó unas pérdidas considerables: 11, 5, 2, -9, 7 millones de euros. Calcula la varianza de este conjunto de datos.

Como hemos visto en la explicación de arriba, lo primero que debemos hacer para hallar la varianza de una serie de datos es calcular su media aritmética:

\overline{X}=\cfrac{11+5+2+(-9)+7}{5}=3,2

Y una vez sabemos el valor promedio de los datos podemos utilizar la fórmula de la varianza:

Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2}{n}

Sustituimos los datos proporcionados por el enunciado del ejercicio en la fórmula:

Var(X)=\cfrac{\displaystyle (11-3,2)^2+(5-3,2)^2+(2-3,2)^2+(-9-3,2)^2+(7-3,2)^2}{5}

Por último, solo queda resolver las operaciones para hacer el cálculo de la varianza:

\begin{aligned}Var(X)&=\cfrac{7,8^2+1,8^2+(-1,2)^2+(-12,2)^2+3,8^2}{5}\\[2ex]&=\cfrac{60,84+3,24+1,44+148,84+14,44}{5}\\[2ex]&= \cfrac{228,8}{5} \\[2ex]&=45,76 \ \text{millones de euros}^2\end{aligned}

Fíjate que las unidades de la varianza son las mismas unidades de los datos estadísticos pero elevadas al cuadrado, por eso la varianza de este grupo de datos es 45,76 millones de euros2.

Diferencia entre la desviación estándar y la varianza

Para acabar de entender los conceptos de desviación estándar y varianza, vamos a ver en qué se diferencian y cuál es la relación entre estas dos medidas estadísticas.

La desviación estándar y la varianza son dos medidas de dispersión, por tanto, ambas indican cuánto de dispersos son los datos observados respecto a su media.

La desviación estándar y la varianza son dos medidas estadísticas que están relacionadas, ya que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la varianza. Equivalentemente, se puede calcular la varianza elevando al cuadrado la desviación estándar.

\sigma=\sqrt{Var(X)}

\sigma^2=Var(X)

Calculadora de la desviación estándar y la varianza

Introduce un conjunto de datos estadísticos en la siguiente calculadora online y pulsa el botón de abajo para calcular su desviación estándar (o desviación típica) y su varianza. Los datos deben separase por un espacio e introducirse usando el punto como separador decimal.

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