▷ Media y varianza

En este post se explica qué son la media y la varianza, cómo se calculan estas dos medidas estadísticas y, además, podrás ver ejercicios resueltos paso a paso. También podrás calcular la media y la varianza de cualquier conjunto de datos con la calculadora online que hay al final del post.

Índice

Media

La media es un valor central característico de un conjunto de datos estadísticos. Para calcular la media se suman todos los valores y se divide entre el número total de datos.

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}$

La media también se conoce como media aritmética o promedio. Además, la media de una distribución estadística es equivalente a su esperanza matemática.

Ejemplo del cálculo de la media

Un alumno ha sacado las siguientes notas en un curso escolar: en matemáticas un 9, en lengua un 7, en historia un 6, en economía un 8 y en ciencia un 7,5. ¿Cuál es la media de todas sus notas?

Para hallar la media aritmética tenemos que sumar todas las notas y luego dividir entre el número total de asignaturas del curso, que es 5. Por lo tanto, aplicamos la fórmula de la media aritmética:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}$

Sustituimos los datos en la fórmula y hacemos el cálculo de la media aritmética:

$\overline{x}=\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3$

➤ Ver: Calcular la media aritmética para datos agrupados

Varianza

La varianza es igual a la suma de los cuadrados de los residuos partido por el número total de observaciones. Así que la fórmula de la varianza es la siguiente:

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n}$

En general, la interpretación del valor de la varianza es sencilla. Cuanto más grande sea el valor de la varianza, más dispersos están los datos, es decir, en general más lejos están de la media. Y al revés, cuanto más pequeña sea el valor de la varianza, menos dispersión habrá en la serie de datos.

Ejemplo del cálculo de la varianza

De una empresa multinacional se conoce el resultado económico que ha tenido durante los últimos cinco años, en la mayoría ha obtenido beneficios pero un año presentó unas pérdidas considerables: 11, 5, 2, -9, 7 millones de euros. Calcula la varianza de este conjunto de datos.

Como hemos visto en la explicación de arriba, lo primero que debemos hacer para hallar la varianza de una serie de datos es calcular su media aritmética:

$\overline{X}=\cfrac{11+5+2+(-9)+7}{5}=3,2$

Y una vez sabemos el valor promedio de los datos podemos utilizar la fórmula de la varianza:

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{X}\right)^2}{n}$

Sustituimos los datos proporcionados por el enunciado del ejercicio en la fórmula:

$Var(X)=\cfrac{\displaystyle (11-3,2)^2+(5-3,2)^2+(2-3,2)^2+(-9-3,2)^2+(7-3,2)^2}{5}$

Por último, solo queda resolver las operaciones para hacer el cálculo de la varianza:

$\begin{aligned}Var(X)&=\cfrac{7,8^2+1,8^2+(-1,2)^2+(-12,2)^2+3,8^2}{5}\\[2ex]&=\cfrac{60,84+3,24+1,44+148,84+14,44}{5}\\[2ex]&= \cfrac{228,8}{5} \\[2ex]&=45,76 \ \text{millones de euros}^2\end{aligned}$

Fíjate que las unidades de la varianza son las mismas unidades de los datos estadísticos pero elevadas al cuadrado, por eso la varianza de este grupo de datos es 45,76 millones de euros².

➤ Ver: Calcular la varianza para datos agrupados

Diferencia entre la media y la varianza

En este apartado se detalla cuál es la diferencia entre la media y la varianza, así podrás entender mejor los dos conceptos.

La diferencia entre la media y la varianza es que la media representa el valor central de unos datos, en cambio, la varianza indica la dispersión de unos datos.

Por lo tanto, la media es una medida de tendencia central, mientras que la varianza es una medida de dispersión. Así pues, son dos tipos de medidas estadísticas diferentes.

➤ Ver: Media y desviación estándar

Calculadora de la media y la varianza

Introduce un conjunto de datos estadísticos en la siguiente calculadora online y pulsa el botón de abajo para calcular su media y su varianza. Los datos deben separase por un espacio e introducirse usando el punto como separador decimal.