Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones

En este post se explica qué es el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones en estadística y para qué sirve. Asimismo, encontrarás cómo calcular el intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones y un ejercicio resuelto paso a paso.

¿Qué es el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones?

El intervalo de confianza para la diferencia de proporciones es un intervalo que proporciona un rango de valores admisibles entre los cuales se encuentra el valor de la diferencia de las proporciones de dos poblaciones con un determinado nivel de confianza.

Por ejemplo, si el intervalo de confianza para la diferencia de las proporciones de dos poblaciones con un nivel de confianza del 95% es (0,07 , 15), significa que la diferencia entre las dos proporciones poblacionales estará entre el 7% y el 15% con una probabilidad del 95%.

Por lo tanto, en estadística el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones sirve para estimar dos valores entre los cuales se encuentra la diferencia entre dos proporciones poblacionales. De manera que se recolectan dos muestras y a partir de esos datos se puede aproximar cuál es la diferencia entre las proporciones de las poblaciones.

Fórmula del intervalo de confianza para la diferencia de proporciones

La fórmula para calcular el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones con un nivel de confianza de 1-α es la siguiente:

\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}

Donde:

  • \widehat{p_i} es la proporción de la muestra i.
  • n_i es el tamaño de la muestra i.
  • Z_{\alpha/2} es el cuantil de la distribución normal estándar correspondiente a una probabilidad de α/2. Para tamaños muestrales grandes y un nivel de confianza del 95% se suele aproximar a 1,96 y para una confianza del 99% se suele aproximar a 2,576.

Ejemplo resuelto del intervalo de confianza para la diferencia de proporciones

Después de ver la definición del intervalo de confianza para la diferencia de proporciones y cuál es su fórmula, vamos a ver un ejemplo resuelto de cómo se calcula el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones.

  • Se quiere hacer un estudio estadístico sobre la proporción de zurdos, en concreto, se quiere averiguar la diferencia entre las proporciones de zurdos entre hombres y mujeres. Para ello, se toma una muestra de 60 hombres y una muestra de 67 mujeres, de los cuales 5 hombres y 7 mujeres son zurdos. ¿Cuál es el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones con un nivel de confianza del 95%?

En primer lugar, tenemos que calcular la proporción de zurdos de cada muestra estadística:

\widehat{p_1}=\cfrac{5}{60}=0,083

\widehat{p_2}=\cfrac{7}{67}=0,104

Tal y como hemos visto en el apartado de arriba, la fórmula para determinar el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones es la siguiente:

\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}

De modo que para hallar el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones tenemos que determinar el valor de Zα/2. Para ello, usamos la tabla de la distribución normal estándar.

1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025

\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}

Finalmente, sustituimos los datos en la fórmula y calculamos el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones:

\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}

\displaystyle (0,083-0,104)\pm 1,96\cdot \sqrt{\frac{0,083\cdot(1-0,083)}{60}+\frac{0,104\cdot(1-0,104)}{67}}

\displaystyle -0,021\pm  0,101

En definitiva, el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones del problema es:

(-0,122 \ , \ 0,08)

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