Intervalo de confianza para la proporción

En este post se explica qué es el intervalo de confianza para la proporción y para qué sirve en estadística. Asimismo, encontrarás cómo calcular el intervalo de confianza para la proporción junto con un ejercicio resuelto para entender mejor el concepto.

¿Qué es el intervalo de confianza para la proporción?

El intervalo de confianza para la proporción es un intervalo que proporciona un rango de valores admisibles para la proporción de una población. Es decir, el intervalo de confianza para la proporción indica un valor máximo y un valor mínimo entre los cuáles se encuentra la proporción poblacional con un margen de error.

Por ejemplo, si el intervalo de confianza para la proporción de una población con un nivel de confianza del 95% es (0,73 , 0,81), significa la proporción de una población está entre el 73% y el 81% con una probabilidad del 95%.

Por lo tanto, el intervalo de confianza para la proporción se usa para hacer una estimación del valor de la proporción de una población que cumplen con unas características.

Tal y como veremos en el siguiente apartado, el intervalo de confianza para la proporción depende de la proporción muestral y del número de observaciones de la muestra.

Fórmula del intervalo de confianza para la proporción

El intervalo de confianza para la proporción se calcula sumando y restando a la proporción de la muestra el valor de Zα/2 multiplicado por la raíz cuadrada de la proporción muestral (p) multiplicado por 1-p y divido por el tamaño de la muestra (n). Por lo tanto, la fórmula para calcular el intervalo de confianza para la proporción es la siguiente:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

Donde:

  • p es la proporción de la muestra.
  • n es el tamaño de la muestra.
  • Z_{\alpha/2} es el cuantil de la distribución normal estándar correspondiente a una probabilidad de α/2. Para tamaños muestrales grandes y un nivel de confianza del 95% se suele aproximar a 1,96 y para una confianza del 99% se suele aproximar a 2,576.

Ejemplo del cálculo de un intervalo de confianza para la proporción

Para que puedas ver cómo se calcula un intervalo de confianza para la proporción, a continuación te dejamos con un ejemplo resuelto paso a paso.

  • Una compañía de seguros quiere hacer un estudio de mercado y determinar cuánta gente de un país tiene un seguro de vida. Para ello, se analiza una muestra aleatoria de 700 personas y se llega a la conclusión de que un 40% de la muestra dispone de un seguro de vida. ¿Cuál es el intervalo de confianza a un nivel de confianza del 95% para la proporción de la población del país?

Para determinar el intervalo de confianza para la proporción poblacional tenemos que utilizar la fórmula que hemos visto más arriba:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

En este caso, queremos que el nivel de confianza del intervalo de confianza sea del 95%, por lo que el valor de Zα/2 que debemos tomar es 1,96.

1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025

\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}

El enunciado del problema ya nos dice que el tamaño muestral es n=700 y la proporción observada en la muestra es p=0,40, por lo que sustituimos los datos en la fórmula del intervalo de confianza para la proporción y calculamos los límites del intervalo:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

\displaystyle \left(0,40-1,96\cdot \sqrt{\frac{0,40\cdot (1-0,40)}{700}}\ , \ 0,40+1,96\cdot \sqrt{\frac{0,40\cdot (1-0,40)}{700}\right)

\displaystyle \left(0,36 \ , \ 0,44\right)

En conclusión, la proporción de la población estudiada se encuentra entre el 36% y el 44% con un nivel de confianza del 95%.

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