Función de distribución

En este artículo encontrarás la explicación de la función de distribución, cómo se calculan sus valores y un ejemplo resuelto de la función de distribución. Además, podrás ver las diferencias entre una función de distribución y una función de densidad.

¿Qué es la función de distribución?

La función de distribución, también llamada función de distribución acumulada, es una función matemática que indica la probabilidad acumulada de una distribución. Es decir, la imagen de la función de distribución para un valor cualquiera es igual a la probabilidad de que la variable tome dicho valor o uno inferior.

La función de distribución acumulada también se puede designar mediante las siglas FDA, aunque su símbolo habitual es la F mayúscula.

De modo que la función de distribución se define mediante la siguiente fórmula:

F(x)=P[X\leq x]

Cómo calcular la función de distribución

A continuación, se procede a explicar cómo calcular el valor de la función de distribución según si la distribución de probabilidad es discreta o continua.

Caso discreto

Si la variable aleatoria es discreta, la función de distribución acumulada es igual al sumatorio de las probabilidades de todos los valores iguales o menores que x.

\displaystyle F(x)=P[X\leq x]=\sum_{u\leq x}f(u)

Donde f(u) es la función de probabilidad asociada a la variable discreta.

Caso continuo

Si la variable aleatoria es continua, la función de distribución acumulada es equivalente a la integral de la función de densidad desde menos infinito hasta el valor en cuestión.

\displaystyle F(x)=P[X\leq x]=\int_{-\infty}^{x}f(u)du

Donde f(u) es la función de densidad asociada a la variable continua.

Ejemplo de la función de distribución

Ahora que ya sabemos la definición de función de distribución, vamos a ver un ejemplo resuelto paso a paso para aprender cómo se calcula un valor de la función de distribución.

  • Calcula la función de distribución del experimento aleatorio de sacar cara lanzando una moneda cuatro veces.

Para resolver el ejercicio, primero tenemos que calcular todas las probabilidades asociadas al número de caras obtenidas en los cuatro lanzamientos de monedas:

probabilidad lanzamiento cuatro monedas

Entonces, como se trata de una variable discreta, para determinar las imágenes de la función de distribución simplemente debemos sumar las probabilidades hasta el valor de la variable en cuestión:

\begin{array}{l}F(X\leq 0)=f(0)=0,0625\\[4ex]\begin{aligned}F(X\leq 1)& =f(0)+f(1)\\[1.1ex] & =0,0625+0,25=0,3125\end{aligned}\\[6ex]\begin{aligned}F(X\leq 2)& =f(0)+f(1)+f(2)\\[1.1ex] & =0,0625+0,25+0,375=0,6875\end{aligned}\\[6ex]\begin{aligned}F(X\leq 3)& =f(0)+f(1)+f(2)+f(3)\\[1.1ex] & =0,0625+0,25+0,375+0,25=0,9375\end{aligned}\\[6ex]\begin{aligned}F(X\leq 4)& =f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)\\[1.1ex] & =0,0625+0,25+0,375+0,25+0,0625=1\end{aligned}\end{array}

De modo que los valores de la función de distribución de sacar cara tirando cuatro monedas independientes son los siguientes:

Propiedades de la función de distribución

Independientemente del tipo de variable, la función de distribución siempre cumple las siguientes propiedades:

  • El valor de la función de distribución acumulada está entre 0 y 1, ambos incluidos.

0\leq F(x) \leq 1

  • El límite de una función de distribución cuando x tiende a infinito es igual a 1.

\displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x)=1

  • Por otro lado, el límite de una función de distribución cuando x tiende a menos infinito es nulo.

\displaystyle\lim_{x\to -\infty} F(x)=0

  • Por sus características, la función de distribución es monótona no decreciente.

x_1 \leq x_2 \implies F(x_1)\leq F(x_2)

  • Además, si a\leq b se cumplen las siguientes ecuaciones.

\begin{array}{l}P(X < a) = F(a^-)\\[2ex] P(X>a)=1-F(a)\\[2ex]P(X \ge a)=1-F(a^-)\\[2ex]P(a<X<b)=F(b^-)-F(a)\\[2ex]P(a \le X<b)=F(b^-)-F(a^-)\\[2ex]P(a \le X \le b)=F(b)-F(a^-)\end{array}

  • Por último, si la variable estadística es continua, se satisface la siguiente igualdad:

\begin{array}{l}P(a \le X \le b) = P(a \le X < b) = P(a < X \le b)=\\[2ex] = P(a < X < b) = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)- F(a)\end{array}

Función de distribución y función de densidad

Finalmente, veremos cuál es la diferencia entre la función de distribución y la función de densidad, ya que se suelen confundir estos dos conceptos estadísticos.

La diferencia entre la función de distribución y la función de densidad es el tipo de probabilidad que definen. La función de densidad describe la probabilidad de que la variable tome un determinado valor, en cambio, la función de distribución describe la probabilidad acumulada de la variable.

Es decir, la función de distribución sirve para calcular la probabilidad de que la variable sea igual o inferior a un determinado valor.

Ten en cuenta que la función de densidad solo hace referencia a variables continuas, por lo que esta distinción solo tiene sentido si la variable de estudio es continua.

Fíjate cómo cambia la representación gráfica de la función de distribución respecto a la función de densidad de una variable que sigue una distribución normal con una media de 1 y una desviación estándar de 0,5:

diferencia entre funcion de distribucion y funcion de densidad

Para saber más sobre la función de densidad, visita el siguiente artículo:

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