Distribución muestral de la diferencia de medias

En este post se explica qué es la distribución muestral de la diferencia de dos medias en estadística. También encontrarás la fórmula de la distribución muestral de la diferencia de medias y, además, un ejercicio resuelto paso a paso.

¿Qué es la distribución muestral de la diferencia de medias?

La distribución muestral de la diferencia de medias es la distribución que resulta de calcular las diferencias entre las medias de todas las muestras posibles de dos poblaciones diferentes.

Es decir, para obtener la distribución muestral de la diferencia de medias se deben seleccionar todas las muestras posibles de dos poblaciones de estudio, luego se calcula la media de cada muestra seleccionada y, por último, se calcula la diferencia entre todas las medias calculadas de las dos poblaciones. Así pues, el conjunto de valores obtenidos después de aplicar todas estas operaciones, forman la distribución muestral de la diferencia de medias.

distribución muestral de la diferencia de medias

La distribución muestral de la diferencia de medias sirve para calcular la probabilidad de que la diferencia entre dos medias de las muestras seleccionadas al azar de dos poblaciones distintas se acerque a la diferencia de las medias de las poblaciones.

Fórmula de la distribución muestral de la diferencia de medias

Si el tamaño muestral es suficientemente grande (n1≥30 y n2≥30), la distribución muestral de la diferencia de medias sigue una distribución normal. En concreto, los parámetros de dicha distribución se calculan de la siguiente manera:

\begin{array}{c}\displaystyle \mu_{\overline{x_1}-\overline{x_2}}=\mu_1-\mu_2 \qquad \sigma_{\overline{x_1}-\overline{x_2}}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\\[6ex]\displaystyle N_{\overline{x_1}-\overline{x_2}}\left(\mu_1-\mu_2, \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right) \end{array}

Nota: si las dos poblaciones son distribuciones normales, entonces la distribución muestral de la diferencia de medias sigue una distribución normal independientemente de los tamaños muestrales.

Por lo tanto, como la distribución muestral de la diferencia de medias está definida por una distribución normal, la fórmula para calcular el estadístico de la distribución muestral de la diferencia de medias es la siguiente:

Z=\cfrac{(\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}

Donde:

  • \overline{x_i} es la media de la muestra i.
  • \mu_i es la media de la población i.
  • \sigma_i es la desviación estándar de la población i.
  • n_i es el tamaño de la muestra i.
  • Z es una variable definida por la distribución normal estándar N(0,1).

Fíjate que las muestras de las poblaciones diferentes pueden tener un tamaño muestral distinto.

Ejemplo resuelto de la distribución muestral de la diferencia de medias

Una vez ya hemos visto la definición de la distribución muestral de la diferencia de medias y cuál es su fórmula, vamos a ver un ejemplo resuelto paso a paso para acabar de comprender el concepto de la distribución muestral de la diferencia de medias.

  • En un estudio estadístico se quiere analizar la diferencia entre la estatura de los chicos y las chicas de una determinada edad. Se sabe que la distribución que define la población de los chicos de esa edad tiene una media de 157 cm y una desviación estándar de 9 cm y, por otro lado, la distribución que define la población de las chicas de esa edad tiene una media de 148 cm y una desviación estándar de 7 cm. Si se selecciona una muestra de 30 chicos de esa edad y una muestra de 35 chicas de esa edad ¿cuál es la probabilidad de que la estatura media de la muestra de chichos sea 12 cm más grande que la estatura media de la muestra de chicas?

Para resolver este problema, lo primero que debemos hacer es calcular el estadístico de la distribución muestral de la diferencia de medias. Por lo que aplicamos la fórmula vista más arriba:

Z=\cfrac{(\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right)}=\cfrac{12-(157-148)}{\displaystyle\sqrt{\frac{9^2}{30}+\frac{7^2}{35}}}=1,48

Por lo tanto, la probabilidad de que la estatura media de la muestra de chicos sea 12 cm mayor que la estatura media de las chicas es equivalente a la probabilidad de que la variable Z sea mayor que 1,48.

P[(\overline{x_1}-\overline{x_2})>12]=P[Z>1,48]

Así pues, buscamos la probabilidad de Z>1,48 en la tabla de Z:

P[(\overline{x_1}-\overline{x_2})>12]=P[Z>1,48]=0,0694

En definitiva, la probabilidad de que la estatura media de la muestra de chicos sea 12 cm mayor que la estatura media de las chicas es del 6,94%.

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