Regresión no lineal

En este post se explica qué es la regresión no lineal junto con sus características. También se muestran cuáles son los diferentes tipos de regresión no lineal y, además, podrás ver cuáles son las diferencias entre una regresión no lineal y un regresión lineal.

¿Qué es la regresión no lineal?

En estadística, la regresión no lineal es un tipo de regresión en el que se utiliza una función no lineal como modelo de la ecuación de regresión. Por lo tanto, la ecuación de un modelo de regresión no lineal es una función no lineal.

Lógicamente, la regresión no lineal se utiliza para relacionar la variable independiente con la variable dependiente cuando la relación entre ambas variables no es lineal. Así pues, si al representar gráficamente la muestra de datos, observamos que no tienen una relación lineal, es decir, que no forman aproximadamente una línea recta, es mejor utilizar un modelo de regresión no lineal.

Por ejemplo, la ecuación y=3-5x-8x²+x³ es un modelo de regresión no lineal, ya que relaciona matemáticamente la variable independiente X con la variable dependiente Y mediante una función cúbica.

Tipos de regresión no lineal

Los tipos de regresión no lineal son los siguientes:

• Regresión polinomial: regresión no lineal cuya ecuación tiene forma de polinomio.
• Regresión logarítmica: regresión no lineal en la que se hace el logaritmo de la variable independiente.
• Regresión exponencial: regresión no lineal en la cual la variable independiente se encuentra en el exponente de la ecuación.

A continuación se explica cada tipo de regresión no lineal más detalladamente.

Regresión polinomial

La regresión polinomial, o regresión polinómica, es un modelo de regresión no lineal en el cual la relación entre la variable independiente X y la variable dependiente Y se modela mediante un polinomio.

La regresión polinomial es útil para ajustar conjuntos de datos cuyas gráficas son curvas polinómicas. Así pues, si la gráfica de puntos de una muestra de datos tiene forma de parábola, será mejor construir un modelo de regresión cuadrático que un modelo de regresión lineal. De esta forma la ecuación del modelo de regresión se adaptará mejor a la muestra de datos.

La ecuación de un modelo de regresión polinomial es y=β₀+β₁x+β₂x²+β₃x³…+β_mx^m.

Donde:

• es la variable dependiente.
• es la variable independiente.
• es la constante de la ecuación de la regresión polinomial.
• es el coeficiente de regresión asociado a la variable .

A continuación puedes ver representado gráficamente una muestra de datos junto con su correspondiente ecuación de regresión polinomial:

Regresión logarítmica

La regresión logarítmica es un modelo de regresión no lineal que incluye un logaritmo en su ecuación, en concreto, en una regresión logarítmica se hace el logaritmo de la variable independiente.

La regresión logarítmica permite ajustar un modelo de regresión cuando los datos de la muestra forman una curva logarítmica, de esta forma el modelo de regresión se adapta mejor a la muestra de datos.

La fórmula de la ecuación de una regresión logarítmica es y=a+b·ln(x).

Donde:

• es la variable dependiente.
• es la variable independiente.
• son los coeficientes de la regresión.

En la siguiente gráfica puedes ver un conjunto datos y la ecuación de un modelo de regresión logarítmico ajustado a los datos. Como puedes comprobar, la ecuación logarítmica se adapta mejor a la gráfica de puntos que una línea recta.

Regresión exponencial

La regresión exponencial es un modelo de regresión no lineal cuya ecuación tiene forma de función exponencial. Por lo tanto, en la regresión exponencial se relaciona la variable independiente y la variable dependiente mediante una relación exponencial.

La fórmula de la ecuación de un modelo de regresión exponencial es y=a·e^b·x. Por lo tanto, la ecuación de la regresión exponencial tiene un coeficiente (a) multiplicando al número e y otro coeficiente en el exponente multiplicando a la variable independiente.

Así pues, la fórmula de la regresión exponencial es la siguiente:

Donde:

• es la variable dependiente.
• es la variable independiente.
• son los coeficientes de la regresión.

Como puedes ver en la siguiente imagen, la gráfica de puntos tiene forma de curva exponencial, ya que los datos cada vez crecen más rápido. Por eso un modelo de regresión exponencial se ajusta mejor a esta muestra de datos que un modelo de regresión lineal simple.

Regresión no lineal y regresión lineal

Para terminar, a modo de resumen, vamos a ver cuál es la diferencia entre un modelo de regresión no lineal y un modelo de regresión lineal.

La regresión lineal es un modelo estadístico que relaciona una o varias variables independientes con una variable dependiente de manera lineal. Así pues, en un modelo de regresión lineal puede haber más de una variable explicativa, pero la relación entre las variables explicativas y la variable respuesta es lineal.

Por lo tanto, la principal diferencia entre la regresión no lineal y la regresión lineal es que la ecuación de un modelo de regresión no lineal es una función no lineal (polinomial, logarítmica, exponencial, etc), en cambio, la ecuación de un modelo de regresión lineal es una función lineal (de primer grado).