Distribución lognormal

En este artículo se explica qué es la distribución lognormal en estadística. Así pues, encontrarás cuáles son las propiedades de la distribución lognormal y la gráfica de este tipo de distribución de probabilidad.

¿Qué es la distribución lognormal?

La distribución lognormal, o distribución normal logarítmica, es una distribución de probabilidad que define una variable aleatoria cuyo logaritmo sigue una distribución normal.

Por lo tanto, si la variable X tiene una distribución normal, entonces la función exponencial ex tiene una distribución lognormal.

X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)

Ten en cuenta que la distribución lognormal solo puede usarse cuando los valores de la variable son positivos, ya que el logaritmo es una función que solamente admite un argumento positivo.

Entre la diferentes aplicaciones de la distribución lognormal, en estadística destaca el uso de esta distribución para analizar inversiones financieras y para hacer análisis de fiabilidad.

La distribución lognormal también se conoce como distribución de Tinaut, asimismo, a veces se escribe distribución log normal o distribución log-normal.

Gráfica de la distribución lognormal

Ahora que ya sabemos la definición de la distribución lognormal, en este apartado veremos cómo varia la representación gráfica de la distribución lognormal según los valores de su media aritmética y su desviación estándar.

La gráfica de la función de densidad de la distribución lognormal es la siguiente:

gráfica de la distribución lognormal

Por otro lado, la gráfica de la probabilidad acumulada de la distribución lognormal es la siguiente:

gráfica de la probabilidad acumulada de la distribución lognormal

Características de la distribución lognormal

La distribución lognormal tiene las siguientes características:

  • La distribución lognormal queda definida por el valor de dos parámetros, su media aritmética μ y su varianza σ2.

X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)

  • El dominio de la distribución lognormal son todos los números reales positivos, pues el logaritmo no acepta valores negativos o nulos.

x\in (0,+\infty)

  • La esperanza matemática de una distribución lognormal es igual al número e elevado a la suma de la media más la varianza partido por dos.

\displaystyle E[X]=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}

  • Por otro lado, la varianza de una distribución lognormal se puede calcular con la siguiente expresión:

Var(X)=\left(e^{\sigma^2}-1\right)\cdot e^{2\mu+\sigma^2

  • La moda de la distribución lognormal es equivalente al número e elevado a la media de la distribución.

Mo=e^\mu

  • El coeficiente de asimetría de la distribución lognormal se puede determinar aplicando la siguiente fórmula:

\displaystyle A=\left(e^{\sigma^2}+2\right)\cdot\sqrt{e^{\sigma^2}-1}

  • La fórmula de la función de densidad de la distribución lognormal es la siguiente:

\displaystyle P[X=x]=\frac{1}{\sigma \cdot x\cdot \sqrt{2 \pi}}\cdot \exp\left(-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)

  • La fórmula de la función de probabilidad acumulada de la distribución lognormal es la siguiente:

\displaystyle P[X\leq x]=\Phi\left(\frac{\ln x-\mu}{\sigma}\right)

Donde \Phi es la función de probabilidad acumulada de una distribución normal estándar.

  • La media aritmética de una distribución lognormal es mayor que el valor de su mediana.

\mu > Me

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