▷ Distribución geométrica - Probabilidad y Estadística

En este post se explica qué es la distribución geométrica en estadística. Así que encontrarás la definición de la distribución geométrica, ejemplos de distribuciones geométricas y las propiedades de este tipo de distribución de probabilidad. Además, podrás calcular cualquier probabilidad de una distribución geométrica con una calculadora online.

Índice

¿Qué es la distribución geométrica?

La distribución geométrica es una distribución de probabilidad que define el número de ensayos de Bernoulli necesarios hasta obtener el primer resultado con éxito.

Es decir, una distribución geométrica modela aquellos procesos en los que se repiten experimentos de Bernoulli hasta que se consigue uno con un resultado de éxito.

Recuerda que un ensayo de Bernoulli es un experimento que tiene dos posibles resultados: «éxito» y «fracaso». De modo que si la probabilidad de «éxito» es p, la probabilidad de «fracaso» es q=1-p.

Por lo tanto, la distribución geométrica depende del parámetro p, que es la probabilidad de éxito que tienen todos los experimentos realizados. Además, la probabilidad p es igual para todos los experimentos.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

Asimismo, la distribución geométrica también se puede definir como el número de fracasos antes del primer éxito. En tal caso, la distribución puede tomar el valor x=0 y su fórmula varia ligeramente. Pero lo más habitual es tomar la definición de la distribución geométrica explicada al principio de este apartado.

Ejemplos de la distribución geométrica

Una vez vista la definición de la distribución geométrica, en este apartado se muestran varios ejemplos de variables aleatorias que siguen este tipo de distribución.

Ejemplos de la distribución geométrica:

El número de lanzamientos de moneda realizados hasta obtener cara.
El número de coches que pasan por una carretera hasta ver un coche rojo.
El número de veces que una persona debe hacer el examen de conducir hasta conseguir aprobarlo.

El número de lanzamientos de dado realizados hasta sacar el número 6.
El número de tiros libres que se deben hacer hasta conseguir encestar.

Fórmula de la distribución geométrica

En una distribución geométrica, la probabilidad de necesitar hacer x ensayos para obtener un resultado de éxito es el producto del parámetro p por (1-p) elevado a x-1.

Por lo tanto, la fórmula para calcular una probabilidad de la distribución geométrica es la siguiente:

👉 Puedes usar la calculadora que hay más abajo para calcular la probabilidad de una variable que sigue la distribución geométrica.

Por otro lado, la fórmula de la función de distribución que nos permite calcular una probabilidad acumulada de la distribución geométrica es la siguiente:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

Ejercicio resuelto de la distribución geométrica

¿Cuál es la probabilidad de obtener el número 5 en el tercer lanzamiento de un dado?

La distribución de probabilidad de este problema es una distribución geométrica, ya que define el número de lanzamientos necesarios (tres) para conseguir un resultado de éxito (el número 5).

Por lo tanto, primero tenemos que calcular la probabilidad de éxito de cada lanzamiento. En este caso, solo hay un resultado con éxito de seis posibles resultados, por lo que la probabilidad p es:

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

Y luego aplicamos la fórmula de la distribución geométrica para determinar la probabilidad que nos pide el ejercicio:

$\begin{aligned}\displaystyle P[X=x]&=(1-p)^{x-1}\cdot p\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1}\cdot \frac{1}{6}\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=0,1157\end{aligned}$

Características de la distribución geométrica

La distribución geométrica cumple con las siguientes características:

La distribución geométrica tiene un parámetro característico, p, que es la probabilidad de éxito de cada uno de los experimentos realizados.

$\begin{array}{c} X\sim\text{Geom\'etrica}(p)\\[2ex]0<p<1\end{array}$

La media de la distribución geométrica es igual a uno partido por la probabilidad de éxito de cada experimento realizado.

$E[X]=\cfrac{1}{p}$

La varianza de la distribución geométrica es equivalente a la diferencia de 1 menos p partido por el cuadrado de p.

$Var(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$

La fórmula de la función de masa de la distribución geométrica es la siguiente:

$P[X=x]=(1-p)^{x-1}\cdot p$

Asimismo, la fórmula de la función de probabilidad acumulada de la distribución geométrica es la siguiente:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

La distribución geométrica es un caso particular de la distribución binomial negativa. En concreto, es equivalente a una distribución binomial negativa con el parámetro r=1.

$X\sim \text{BN}(1,p) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ Ver: Distribución binomial negativa
➤ Ver: Distribución binomial

Calculadora de la distribución geométrica

Introduce el valor del parámetro p y el valor de x en la siguiente calculadora para calcular la probabilidad. Debes seleccionar la probabilidad que quieres calcular e introducir los números utilizando el punto como separador decimal, por ejemplo, 0.1667.