Distribución binomial negativa

En este post se explica qué es la distribución binomial negativa y para qué sirve. También encontrarás la fórmula de la distribución binomial negativa, un ejemplo resuelto y las propiedades de este tipo de distribución de probabilidad. Por último, podrás calcular cualquier probabilidad de la distribución binomial negativa con una calculadora online.

¿Qué es la distribución binomial negativa?

La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad que describe el número de ensayos de Bernoulli necesarios para obtener un número determinado de resultados con éxito.

Por lo tanto, una distribución binomial negativa tiene dos parámetros característicos: r es el número de resultados con éxito deseado y p es la probabilidad de éxito de cada experimento de Bernoulli realizado.

X\sim \text{BN}(r,p)

Recuerda que un ensayo de Bernoulli es un experimento que tiene dos posibles resultados: «éxito» y «fracaso». De modo que si la probabilidad de «éxito» es p, la probabilidad de «fracaso» es q=1-p.

Así pues, una distribución binomial negativa define un proceso en el que se hacen tantos ensayos de Bernoulli necesarios para conseguir r resultados de éxito. Además, todos estos ensayos de Bernoulli son independientes y tienen una probabilidad de éxito p constante.

Por ejemplo, una variable aleatoria que sigue una distribución binomial negativa es el número de veces que se debe lanzar un dado hasta conseguir tres veces el número 6.

La diferencia entre una distribución binomial negativa y una distribución binomial es que la distribución binomial negativa cuenta el número de veces que se necesitan para conseguir un determinado número de resultados con éxito, en cambio, la distribución binomial cuenta el número de casos de éxito de una serie de ensayos de Bernoulli.

Fórmula de la distribución binomial negativa

Dados los parámetros r, p, x, la probabilidad de una distribución binomial negativa se calcula multiplicando el número combinatorio de x-1 en x-r por (1-p)x-r por pr.

De modo que la fórmula para calcular una probabilidad de la distribución binomial negativa es la siguiente:

Fórmula de la distribución binomial negativa

👉 Puedes usar la calculadora que hay más abajo para calcular la probabilidad de una variable que sigue la distribución binomial negativa.

Ejercicio resuelto de la distribución binomial negativa

  • ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar ocho veces una moneda se obtenga cara por cuarta vez justamente en el octavo lanzamiento?

En primer lugar, tenemos que calcular la probabilidad de sacar cara al lanzar una moneda. En este caso, solo tenemos un resultado de éxito (cara) de dos resultados posibles (cara y cruz), por lo que la probabilidad de éxito es:

p=\cfrac{1}{2}=0,5

Así pues, la variable aleatoria de este problema sigue una distribución binomial negativa en la que r=4 y p=0,5. Por lo tanto, utilizamos la fórmula de la distribución binomial negativa para calcular la probabilidad que nos pide el ejercicio.

\begin{aligned}P[X=x]&=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r\\[2ex]\displaystyle P[X=8]&=\begin{pmatrix}8-1\\ 8-4\end{pmatrix}\cdot (1-0,5)^{8-4}\cdot 0,5^4\\[2ex] P[X=8]&=0,1367\end{aligned}

Características de la distribución binomial negativa

A continuación se muestran las características más importantes de la distribución binomial negativa.

  • La distribución binomial negativa queda definida por dos parámetros característicos: r es el número de resultados con éxito deseado y p es la probabilidad de éxito de cada experimento de Bernoulli realizado.

\begin{array}{c}r\in \mathbb{Z}^+ \\[2ex] 0<p<1 \\[2ex] X\sim \text{BN}(r,p)\end{array}

  • La media de la distribución binomial negativa es igual a r multiplicado por (1-p) y dividido por p. Así que la fórmula que nos permite calcular la media de una distribución binomial negativa es la siguiente:

E[X]=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p}

  • La varianza de una distribución binomial negativa es equivalente a r multiplicado por (1-p) dividido por p2.

Var(X)=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p^2}

  • Si el parámetro r es mayor que 1, la moda de una distribución binomial negativa se puede calcular con la siguiente fórmula:

\displaystyle \lfloor \frac{(r-1)(1-p)}{p}\rfloor\quad \text{para }r>1

  • La función de masa que permite determinar una probabilidad de una distribución binomial negativa es la siguiente:

P[X=x]=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r

  • El coeficiente de asimetría de una distribución binomial negativa se calcula con la siguiente expresión:

\displaystyle A=\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}

  • La curtosis de una distribución binomial negativa se puede hallar con la siguiente fórmula:

\displaystyle C=\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}

r=1 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad X\sim \text{Geometrica}(p)

Calculadora de la distribución binomial negativa

Introduce los valores de los parámetros r, p, x en la siguiente calculadora para calcular la probabilidad. Debes introducir los números utilizando el punto como separador decimal, por ejemplo, 0.50.

Número de resultados con éxito r =
Probabilidad de éxito de cada experimento p =
Número total de experimentos realizados x =

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