Covarianza

En este artículo se explica qué es la covarianza y cómo se calcula. Encontrarás la fórmula de la covarianza junto con un ejemplo del cálculo de la covarianza de un conjunto de datos. Además, podrás calcular la covarianza de cualquier serie de datos con la calculadora online que hay al final.

¿Qué es la covarianza?

En estadística, la covarianza es un valor que indica el grado de variación conjunta de dos variables aleatorias. Es decir, la covarianza sirve para analizar la dependencia entre dos variables.

La covarianza es igual al sumatorio de los productos de las diferencias entre los datos de las dos variables y sus respectivas medias partido por el número total de datos.

covarianza

👉 Puedes usar la calculadora que hay más abajo para calcular la covarianza de cualquier conjunto de datos.

La interpretación del valor de la covarianza es muy sencilla:

  • Si la covarianza es positiva, significa que existe una dependencia entre las dos variables. Por lo tanto, cuando una variable aumente de valor la otra variable también aumentará, y al revés.
  • Si la covarianza es negativa, quiere decir que la relación entre las dos variables es negativa. De manera que cuando una variable aumente de valor la otra variable disminuirá, y viceversa.
  • Si la covarianza es igual a cero (o su valor es cercano a cero), implica que no hay una relación entre las dos variables. Es decir, las dos variables aleatorias son independientes.

Cómo calcular la covarianza

Para calcular la covarianza de una serie de datos se deben hacer los siguientes pasos:

  1. Calcular la media de cada variable por separado.
  2. Por cada variable, hallar la diferencia entre cada uno de sus valores y la media de la variable.
  3. Multiplicar las diferencias calculadas en el paso anterior de cada dato.
  4. Sumar todos los resultados obtenidos en el paso anterior.
  5. Dividir entre el número total de datos. El valor obtenido es la covarianza de la serie de datos.

A modo de resumen, la fórmula para calcular la covarianza entre dos variables es:

Cov(X,Y)=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{n}

Una manera muy recomendable de sacar la covarianza entre dos variables es hacer una tabla con todas las parejas de datos y añadir una columna por cada uno de los pasos explicados arriba. De esta forma tendrás los cálculos mucho mejor organizados y entenderás mejor qué estás haciendo.

Ejemplo del cálculo de la covarianza

Vista la definición de covarianza, a continuación tienes un ejemplo resuelto paso a paso del cálculo de este tipo de medida estadística. El objetivo es que entiendas mejor el concepto de covarianza y cómo hacer una análisis de la correlación entre dos variables.

  • Calcula la covarianza del siguiente conjunto de datos estadísticos:

En primer lugar, tenemos que calcular la media aritmética de cada variable. Para ello, dividimos la suma de los valores de cada variable entre el número total de datos.

\overline{x}=\cfrac{58}{10}=5,8

\overline{y}=\cfrac{51}{10}=5,1

Una vez hemos determinado el promedio de cada variable aleatoria, podemos añadir las siguientes columnas a la tabla de datos para sacar la covarianza:

ejercicio resuelto de la covarianza

De modo que para determinar la covarianza de las dos variables debemos dividir el sumatorio de la última columna entre el número de parejas de datos:

\begin{aligned}Cov(X,Y)&=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{n}\\[2ex] Cov(X,Y)&= \cfrac{41,2}{10} \\[2ex]Cov(X,Y)&= 4,12\end{aligned}

En este caso el valor de la covarianza es positivo, lo que significa que hay una dependencia directa entre las dos variables aleatorias estudiadas. Sin embargo, si el valor de la covarianza hubiera sido negativo, significaría que la dependencia entre las dos variables es inversa. Y, finalmente, si el valor de la covarianza es nulo o muy próximo a cero, quiere decir que no existe una relación lineal entre las dos variablas.

Como puedes ver en la resolución de este ejemplo, resulta muy útil usar un programa informático como el Excel para añadir las columnas a la tabla y hacer los cálculos rápidamente. Del otro modo, calculando las operaciones a mano, se tarda mucho más en encontrar la covarianza.

Calculadora de la covarianza

Introduce un conjunto de datos estadísticos en la siguiente calculadora para calcular la covarianza entre dos variables. Debes separar las parejas de datos, de manera que en el primer recuadro solo haya los valores de una variable y en el segundo recuadro únicamente estén los valores de la segunda variable.

Los datos deben separase por un espacio e introducirse usando el punto como separador decimal.

  • Variable aleatoria X:
  • Variable aleatoria Y:

Propiedades de la covarianza

La covarianza tiene las siguientes propiedades:

  • La covarianza entre una variable aleatoria y una constante da como resultado cero.

Cov(X,a)=0

  • La covarianza de una variable y de sí misma es equivalente a la varianza de dicha variable.

Cov(X,X)=Var(X)

  • La covarianza cumple con la propiedad de simetría, por lo que la covarianza de las variables X e Y es igual a la covarianza de las variables Y y X. El orden de las variables no afecta al resultado de la covarianza.

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

  • Si las variables están multiplicadas por constantes, se puede calcular primero la covarianza y luego multiplicar el resultado por las constantes.

Cov(a\cdot X,b\cdot Y)=a\cdot b\cdot Cov(X,Y)

  • Si sumamos términos a las variables no afecta al resultado de la covarianza.

Cov(a+X,b+Y)=Cov(X+Y)

  • La covarianza entre dos variables aleatorias está relacionada con sus esperanzas matemáticas. La covarianza entre las variables X e Y es igual a la esperanza matemática del producto de X por Y menos el producto de la esperanza matemática de cada variable.

Cov(X,Y)=E[X\cdot Y]-E[X]\cdot E[Y]

  • Al hacer operaciones con variables, se cumple la siguiente expresión algebraica en relación a la covarianza:

\begin{aligned}\displaystyle Cov(aX+bY,cW+dV)= \ & \displaystyle acCov(X,W)+adCov(X,V)+\\[2ex]& +bcCov(Y,W)+bdCov(Y,V)\end{aligned}

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