Distribución multinomial

En este post se explica qué es una distribución multinomial en estadística. Así pues, encontrarás la definición de distribución multinomial, cuál es su fórmula, un ejercicio resuelto y cuáles son las propiedades de este tipo de distribución de probabilidad. Además, podrás calcular la probabilidad de una distribución multinomial con una calculadora online.

¿Qué es una distribución multinomial?

La distribución multinomial (o distribución multinómica) es una distribución de probabilidad que describe la probabilidad de que varios eventos excluyentes ocurran un número determinado de veces tras realizar varios ensayos.

Es decir, si un experimento aleatorio puede dar como resultado tres o más eventos excluyentes y se conocen la probabilidad de que ocurra cada evento por separado, la distribución multinomial sirve para calcular la probabilidad de que al realizar varios experimentos suceda un número determinado de veces cada evento.

Por lo tanto, la distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial.

Fórmula de la distribución multinomial

Para calcular una probabilidad de la distribución multinomial primero se debe determinar el cociente entre el factorial del número total de datos y los factoriales del número de ocurrencias de cada evento, y el resultado se multiplica por el producto de la probabilidad de cada evento elevada al número de ocurrencias de dicho evento.

Es decir, la fórmula de la distribución multinomial es la siguiente:

distribucion multinomial

Donde:

  • P es la probabilidad de la distribución multinomial calculada.
  • n es el número total de ensayos realizados.
  • x_i es el número de veces que ocurre el evento i.
  • p_i es la probabilidad de que ocurra el evento i.

👉 Puedes usar la calculadora que hay más abajo para calcular la probabilidad de una variable que sigue la distribución multinomial.

Ejemplo de la distribución multinomial

Para acabar de entender el concepto de distribución multinomial, a continuación tienes resuelto un ejemplo del cálculo de la probabilidad de una distribución multinomial.

  • Una tienda vende tres productos diferentes. Cuando un cliente hace una compra, la probabilidad de que sea el producto A, el producto B o el producto C es del 30%, 15% y 55% respectivamente. Calcula la probabilidad de que cuando la tienda haya vendido 8 unidades, 2 sean del producto A, 1 del producto B y 5 del producto C.

El problema definido se rige por una distribución multinomial, por lo tanto, tenemos que aplicar la fórmula de este tipo de distribución de probabilidad:

P=\cfrac{n!}{x_1!\cdot x_2!\cdot x_3!}\cdot p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdot p_3^{x_3}

De modo que sustituimos los datos del problema en la fórmula y hacemos el cálculo de la probabilidad:

P=\cfrac{8!}{2!\cdot 1!\cdot 5!}\cdot 0,30^{2}\cdot 0,15^{1}\cdot 0,55^{5}=0,114

Así que la probabilidad de que ocurra lo que decía el enunciado del problema es del 11,4%.

Calculadora de la distribución multinomial

Introduce el número de ocurrencias de cada evento en el primer recuadro y, en el mismo orden, la probabilidad de ocurrencia de cada evento en el segundo recuadro. Luego introduce el número total de ensayos realizados en el último espacio en blanco.

Los datos deben separase por un espacio e introducirse usando el punto como separador decimal.

  • Número de ocurrencias de cada evento (x_i):
  • Probabilidad de ocurrencia de cada evento (p_i):
  • Número total de ensayos (n) =

Propiedades de la distribución multinomial

La distribución multinomial cumple con las siguientes características:

  • En una distribución multinomial, el valor esperado del número de veces que ocurre el evento i al hacer n ensayos es igual al número total de ensayos realizados por la probabilidad de ocurrencia del evento.

E[x_i]=n\cdot p_i

  • En una distribución multinomial, la varianza para el evento i se calcula mediante la siguiente expresión:

Var(x_i)=n\cdot p_i\cdot (1-p_i)

  • Asimismo, la covarianza entre dos eventos es equivalente al resultado del producto del número total de ensayos por la probabilidad de cada evento por -1:

Cov(x_i,x_j)=-n\cdot p_i\cdot p_j\qquad i\neq j

  • La función generadora de momentos para una distribución multinomial es:

\displaystyle \left(\sum_{i=1}^k p_ie^{t_i}\right) ^n

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