Distribución de Bernoulli

En este artículo se explica qué es la distribución de Bernoulli y cuál es su fórmula. Además, encontrarás las propiedades de la distribución de Bernoulli y un ejercicio resuelto para entender mejor su significado.

¿Qué es la distribución de Bernoulli?

La distribución de Bernoulli, también conocida como distribución dicotómica, es una distribución de probabilidad que representa una variable discreta la cual solo puede tener dos resultados: «éxito» o «fracaso».

En la distribución de Bernoulli, «éxito» es el resultado que esperamos que ocurra y tiene el valor de 1, mientras que el resultado de «fracaso» es un resultado distinto al esperado y su valor es 0. Así pues, si la probabilidad del resultado de «éxito» es p, la probabilidad del resultado de «fracaso» es q=1-p.

\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}

La distribución de Bernoulli recibe este nombre en honor al estadístico suizo Jacob Bernoulli.

En estadística, la distribución de Bernoulli tiene principalmente una aplicación, que es definir las probabilidades de los experimentos en los que solo hay dos posibles resultados: éxito y fracaso. Así pues, un experimento que usa la distribución de Bernoulli se llama ensayo de Bernoulli o experimento de Bernoulli.

Fórmula de la distribución de Bernoulli

Si p es la probabilidad de ocurrencia del resultado de «éxito», la probabilidad de la distribución de Bernoulli es igual a p elevado a x multiplicador por 1-p elevado a 1-x. De modo que las probabilidades de la distribución se Bernoulli se pueden calcular mediante la siguiente fórmula:

fórmula de la distribución de Bernoulli

Ten en cuenta que en una distribución de Bernoulli el valor de x solo puede ser 0 (fracaso) o 1 (éxito).

Por otro lado, la fórmula anterior también puede escribirse mediante la siguiente expresión equivalente:

 \displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

Ejemplo de la distribución de Bernoulli

Ahora que ya sabemos la definición de la distribución de Bernoulli y cuál es su fórmula, vamos a ver un ejemplo resuelto de la distribución de Bernoulli.

  • Para ganar un juego, un jugador necesita lanzar un dado y sacar un 2, en caso contrario, otro jugador ganará la partida y, por tanto, se perderá el juego. Calcula la probabilidad de éxito y de fracaso.

Un dado tiene seis posibles resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6), por lo tanto, en este caso el espacio muestral del experimento es:

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

En nuestro caso, el único caso de éxito es obtener el número dos, de modo que la probabilidad de éxito aplicando la regla de Laplace es igual a uno partido por el número total de posibles resultados (6):

p=\cfrac{1}{6}=0,1667

Por otro lado, si sale cualquier otro número al lanzar el dado, el resultado del experimento se considerará como un fracaso, ya que el jugador perderá la partida. Así pues, dicha probabilidad es equivalente a uno menos la probabilidad calculada anteriormente:

q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333

En definitiva, la distribución de Bernoulli de este experimento queda definida por la siguiente expresión:

 \displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.

Como puedes comprobar a continuación, las probabilidades de la distribución de Bernoulli también se pueden hallar aplicando la fórmula vista más arriba:

P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}

\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}

\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}

Características de la distribución de Bernoulli

A continuación se muestran las características más importantes de la distribución de Bernoulli.

  • La distribución de Bernoulli solo puede tomar el valor de 1 (éxito) o de 0 (fracaso).

x=\{0\ ; 1\}

  • La media de la distribución de Bernoulli es equivalente a la probabilidad de ocurrencia del resultado «éxito».

E[X]=p

  • La varianza de una distribución de Bernoulli se puede calcular multiplicando las probabilidades de ocurrencia del resultado de «éxito» y de «fracaso». O, equivalentemente, la varianza es igual a p por 1-p.

Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)

  • El valor de la moda de una distribución de Bernoulli depende de las probabilidades de «éxito» y de «fracaso». Así pues, la moda de este tipo de distribución queda definida por la siguiente expresión:

 \displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<p\end{array}\right.

  • La fórmula de la función de probabilidad de una distribución de Bernoulli es la siguiente:

 \displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

  • Por otro lado, la función de probabilidad acumulada de la distribución de Bernoulli queda definida mediante la siguiente expresión:

 \displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.

  • El coeficiente de asimetría de una distribución de Bernoulli se calcula con la siguiente expresión:

A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}

  • Asimismo, la curtosis de una distribución de Bernoulli depende del valor del parámetro p y se puede hallar aplicando la siguiente fórmula:

C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}

Distribución de Bernoulli y distribución binomial

En este apartado veremos cuál es la diferencia entre la distribución de Bernoulli y la distribución binomial, ya que son dos tipos de distribuciones de probabilidad que están relacionadas.

La distribución binomial cuenta el número de resultados con «éxito» obtenidos de un conjunto de ensayos de Bernoulli. Estos experimentos de Bernoulli deben ser independientes pero deben tener la misma probabilidad de éxito.

Por lo tanto, la distribución binomial es la suma de un conjunto de variables que siguen una distribución de Bernoulli, todas ellas definidas por el mismo parámetro p.

\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}

Así pues, en la distribución de Bernoulli solo hay un único experimento de Bernoulli, mientras que en la distribución binomial hay una secuencia de experimentos de Bernoulli.

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