Distribución beta

En este post se explica qué es la distribución beta y para qué sirve. Asimismo, podrás ver la gráfica de la distribución beta y las propiedades de este tipo de distribución de probabilidad.

¿Qué es la distribución beta?

La distribución beta es una distribución de probabilidad definida en el intervalo (0,1) y parametrizada por dos parámetros positivos: α y β. Es decir, los valores de la distribución beta dependen de los parámetros α y β.

Por lo tanto, la principal característica de la distribución beta es que se puede controlar su forma mediante los parámetros α y β. Además, la distribución beta sirve para definir variables aleatorias cuyo valor oscila entre 0 y 1.

Existen varias notaciones para denotar que una variable aleatoria continua está regida por una distribución beta, las más comunes son:

\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}

En estadística, la distribución beta tiene aplicaciones muy variadas. Por ejemplo, la distribución beta se usa para estudiar las variaciones de porcentajes en diferentes muestras. Asimismo, en la gestión de proyectos se utiliza la distribución beta para llevar a cabo un análisis Pert.

Gráfica de la distribución beta

Vista la definición de la distribución beta, a continuación se representan gráficamente la función de densidad y la función de distribución de probabilidad de la distribución beta.

Seguidamente puedes ver cómo varia la gráfica de la función de densidad de la distribución beta dependiendo de los parámetros α y β.

gráfica de la distribución beta

Asimismo, abajo puedes ver la representación gráfica de la probabilidad acumulada de la distribución beta según los parámetros α y β.

gráfica de la distribución beta acumulada

Características de la distribución beta

En este apartado veremos cuáles son las características más importantes de la distribución beta.

  • Los parámetros α y β de la distribución beta son números reales y positivos.

\begin{array}{c}\alpha >0\\[2ex] \beta >0\end{array}

  • El dominio de la distribución beta va desde 0 hasta 1, ambos extremos no incluidos.

x\in (0,1)

  • La media de la distribución beta es igual a alfa partido por la suma de alfa más beta.

\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] E[X]=\cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\end{array}

  • La varianza de la distribución beta se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] Var(X)=\cfrac{\alpha\cdot \beta}{(\alpha+\beta+1)\cdot (\alpha+\beta)^2}\end{array}

  • Para valores de alfa y beta más grandes que 1, la moda de la distribución beta se puede hallar fácilmente con la siguiente expresión:

Mo=\cfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\qquad \alpha,\beta>1

  • La función de densidad de la distribución beta es la siguiente:

\displaystyle P[X=x]=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}

Donde B(α,β) es la función beta, que se define como:

\displaystyle B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx

  • La función de probabilidad acumulada de la distribución beta es la siguiente:

\displaystyle P[X\leq x]=\frac{B(x;\alpha,\beta)}{B(\alpha,\beta)}

Donde B(x;α,β) es la función beta incompleta, que se define como:

\displaystyle B(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt

  • Si X es una variable definida por una distribución beta, entonces 1-X es una variable definida por una distribución beta cuyos parámetros alfa y beta son respectivamente los parámetros beta y alfa de la distribución beta original.

X\sim B(\alpha,\beta) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ 1-X\sim B(\beta,\alpha)

  • Si los parámetros alfa y beta de la distribución beta son ambos iguales a 1, entonces la distribución es equivalente a una distribución uniforme de parámetros 0 y 1.

X\sim B(1,1) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ X\sim U(0,1)

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