Regla de la suma (o regla de la adición)

En este post se explica qué es la regla de la suma, también conocida como regla de la adición, y para qué sirve en probabilidad y estadística. Además, podrás ver cuál es la fórmula de la regla de la suma y ejercicios resueltos en los que se muestra cómo usarla.

¿Qué es la regla de la suma (o regla de la adición)?

La regla de la suma (o regla de la adición) indica que la suma de las probabilidades de dos eventos es igual a la suma de la probabilidad de que suceda cada evento por separado menos la probabilidad de que ocurran los dos eventos a la vez.

Por lo tanto, la fórmula de la regla de la suma es P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(A⋂B).

Así pues, para sumar dos probabilidades no se puede simplemente sumar cada probabilidad, pues también debemos restar el término que representa la probabilidad conjunta de los dos eventos. No obstante, en algunos casos sí que solo sumando la probabilidad de cada evento obtenemos el resultado correcto de la suma de probabilidades. Más abajo veremos cuáles son estos casos.

En definitiva, la regla de la suma sirve para calcular la probabilidad de que suceda un evento u otro, es decir, la probabilidad de que se cumpla como mínimo un evento de dos posibles.

Fórmula de la regla de la suma

La regla de la suma dice que para calcular la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B se debe sumar la probabilidad de que ocurra el evento A más la probabilidad de que ocurra el evento B y restar la probabilidad de que ocurran los dos eventos al mismo tiempo.

De modo que la fórmula de la regla de la suma (o de la regla de la adición) es la siguiente:

Donde:

• es la probabilidad el evento A o el evento B.
• es la probabilidad de que ocurra el evento A.
• es la probabilidad de que ocurra el evento B.
• es la probabilidad conjunta de que ocurra el evento A y el evento B.

Por tanto, para poder utilizar la regla de la suma debes saber cómo se calcula la probabilidad conjunta de dos eventos. Puedes ver cómo se hace en el siguiente enlace:

Ejemplo de la regla de la suma para eventos excluyentes

Para acabar de entender el concepto, vamos a ver un ejemplo de cómo aplicar la regla de la suma.

• Metemos en una caja 10 bolas de color azul, 6 bolas de color naranja y 4 bolas de color verde. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola de color azul o naranja?

El ejercicio nos pide determinar la probabilidad de que suceda un evento u otro, por lo tanto, para resolver el problema tenemos que utilizar la fórmula de la regla de la suma:

Así pues, primero calculamos la probabilidad de que suceda cada evento por separado mediante la regla de Laplace:

No obstante, en este caso no se pueden dar los dos eventos a la vez, pues son dos eventos mutuamente excluyentes. De manera que si sacamos una bola azul ya no podemos sacar una bola de color naranja, y viceversa.

Por lo tanto, la probabilidad conjunta de ambos eventos es nula y, en consecuencia, la fórmula de la regla de la suma se simplifica:

De modo que el cálculo de la probabilidad de coger una bola azul o una bola naranja es el siguiente:

En definitiva, la probabilidad de sacar una bola azul o naranja de la caja es del 80%.

Ejemplo de la regla de la suma para eventos no excluyentes

Después de ver un ejemplo resuelto de la regla de la suma cuando los eventos son excluyentes, vamos a ver ahora cómo se usa esta ley cuando los eventos son no excluyentes.

• Si lanzamos una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener «cara» en al menos un lanzamiento?

En este caso los eventos son mutuamente no excluyentes, ya que podemos sacar «cara» en el primer lanzamiento y «cara» en el segundo lanzamiento. Por lo tanto, la fórmula de la regla de la adición no se simplifica y es la siguiente:

Entonces, primero tenemos que calcular la probabilidad de obtener «cara» en un lanzamiento aplicando la regla de Laplace:

Además, los dos eventos son independientes, por lo que podemos calcular la probabilidad conjunta de ambos eventos usando la regla del producto:

Por último, para hallar la probabilidad de que salga cara en como mínimo uno de los dos lanzamientos solo nos queda sustituir los valores en la fórmula de la regla de la suma y hacer el cálculo:

En conclusión, la probabilidad de que al lanzar dos veces una moneda salga al menos una vez cara es del 75%.