Distribución de probabilidad discreta

En este artículo se explica qué son las distribuciones de probabilidad discreta en estadística. Así pues, encontrarás el significado de distribución de probabilidad discreta, ejemplos de distribuciones de probabilidad discreta y cuáles son los diferentes tipos de distribuciones de probabilidad discreta.

¿Qué es un distribución de probabilidad discreta?

Una distribución de probabilidad discreta es aquella distribución que define las probabilidades de una variable aleatoria discreta. Por lo tanto, una distribución de probabilidad discreta solo puede tomar un número finito de valores (generalmente enteros).

Por ejemplo, la distribución binomial, la distribución de Poisson y la distribución hipergeométrica son distribuciones de probabilidad discretas.

En una distribución de probabilidad discreta se asocia cada valor de la variable discreta que representa (xi) a un valor de probabilidad (pi) que va desde 0 hasta 1. De manera que la suma de todas las probabilidades de una distribución discreta da como resultado uno.

\begin{array}{c}P[X=x_i]=p_i \quad i=1,2,\ldots, n\\[2ex]0\leq p_i\leq 1\\[2ex]\displaystyle\sum_{i=0}^{n}p_i=1\end{array}

Ejemplos de distribuciones de probabilidad discretas

Ahora que ya sabemos la definición de una distribución de probabilidad discreta, vamos a ver varios ejemplos de este tipo de distribuciones para entender mejor el concepto.

Ejemplos de distribuciones de probabilidad discretas:

  1. El número de veces que se obtiene el número 5 al lanzar un dado 30 veces.
  2. El número de usuarios que entran en una página web durante un día.
  3. El número de alumnos que han conseguido aprobar de un total de 50 alumnos que hacen un examen.
  4. El número de unidades defectuosas de una muestra de 100 productos.
  5. El número de veces que una persona debe hacer el examen de conducir hasta conseguir aprobarlo.

Tipos de distribuciones de probabilidad discretas

Los principales tipos de distribuciones de probabilidad discretas son los siguientes:

  • Distribución uniforme discreta
  • Distribución de Bernoulli
  • Distribución binomial
  • Distribución de Poisson
  • Distribución multinomial
  • Distribución geométrica
  • Distribución binomial negativa
  • Distribución hipergeométrica

A continuación se explica cada tipo de distribución de probabilidad discreta detalladamente.

Distribución uniforme discreta

La distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad discreta en la cual todos los valores son equiprobables, es decir, en una distribución uniforme discreta todos los valores tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Por ejemplo, el lanzamiento de un dado se puede definir con una distribución uniforme discreta, ya que todos los posibles resultados (1, 2, 3, 4, 5 o 6) tienen la misma probabilidad de ocurrencia.

En general, una distribución uniforme discreta tiene dos parámetros característicos, a y b, que definen el intervalo de los posibles valores que puede tomar la distribución. Así pues, cuando una variable está definida por una distribución uniforme discreta, se escribe Uniforme(a,b).

X\sim \text{Uniforme}(a,b)

La distribución uniforme discreta se puede usar para describir experimentos aleatorios, ya que si todos los resultados tienen la misma probabilidad significa que existe aleatoriedad en el experimento.

Distribución de Bernoulli

La distribución de Bernoulli, también conocida como distribución dicotómica, es una distribución de probabilidad que representa una variable discreta la cual solo puede tener dos resultados: «éxito» o «fracaso».

En la distribución de Bernoulli, «éxito» es el resultado que esperamos que ocurra y tiene el valor de 1, mientras que el resultado de «fracaso» es un resultado distinto al esperado y su valor es 0. Así pues, si la probabilidad del resultado de «éxito» es p, la probabilidad del resultado de «fracaso» es q=1-p.

\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}

La distribución de Bernoulli recibe este nombre en honor al estadístico suizo Jacob Bernoulli.

En estadística, la distribución de Bernoulli tiene principalmente una aplicación, que es definir las probabilidades de los experimentos en los que solo hay dos posibles resultados: éxito y fracaso. Así pues, un experimento que usa la distribución de Bernoulli se llama ensayo de Bernoulli o experimento de Bernoulli.

Distribución binomial

La distribución binomial, también llamada distribución binómica, es una distribución de probabilidad que cuenta el número de éxitos al realizar una serie de experimentos dicotómicos e independientes con una probabilidad de éxito constante. Es decir, la distribución binomial es una distribución que describe el número de resultados con éxito de una secuencia de ensayos de Bernoulli.

Por ejemplo, el número de veces que sale «cara» al lanzar una moneda 25 veces es una distribución binomial.

En general, el número total de experimentos realizados se define con el parámetro n, mientras que p es la probabilidad de éxito de cada experimento. De modo que una variable aleatoria que sigue una distribución binomial se escribe de la siguiente manera:

X\sim\text{Bin}(n,p)

Ten en cuenta que en una distribución binomial se repite exactamente el mismo experimento n veces y los experimentos son independientes entre sí, de modo que la probabilidad de éxito de cada experimento es la misma (p).

Distribución de Poisson

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad que define la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante un período de tiempo. Es decir, la distribución de Poisson sirve para modelizar variables aleatorias que describen el número de veces que se repite un fenómeno en un intervalo de tiempo.

Por ejemplo, el número de llamadas que recibe una central telefónica por minuto es una variable aleatoria discreta que se puede definir utilizando la distribución de Poisson.

La distribución de Poisson tiene un parámetro característico, que se representa con la letra griega λ e indica el número de veces que se espera que ocurra el evento estudiado durante un intervalo dado.

X\sim \text{Poisson}(\lambda)

Distribución multinomial

La distribución multinomial (o distribución multinómica) es una distribución de probabilidad que describe la probabilidad de que varios eventos excluyentes ocurran un número determinado de veces tras realizar varios ensayos.

Es decir, si un experimento aleatorio puede dar como resultado tres o más eventos excluyentes y se conocen la probabilidad de que ocurra cada evento por separado, la distribución multinomial sirve para calcular la probabilidad de que al realizar varios experimentos suceda un número determinado de veces cada evento.

Por lo tanto, la distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial.

Distribución geométrica

La distribución geométrica es una distribución de probabilidad que define el número de ensayos de Bernoulli necesarios hasta obtener el primer resultado con éxito. Es decir, una distribución geométrica modela aquellos procesos en los que se repiten experimentos de Bernoulli hasta que se consigue uno con un resultado de éxito.

Por ejemplo, el número de coches que pasan por una carretera hasta ver un coche amarillo es una distribución geométrica.

Recuerda que un ensayo de Bernoulli es un experimento que tiene dos posibles resultados: «éxito» y «fracaso». De modo que si la probabilidad de «éxito» es p, la probabilidad de «fracaso» es q=1-p.

Por lo tanto, la distribución geométrica depende del parámetro p, que es la probabilidad de éxito que tienen todos los experimentos realizados. Además, la probabilidad p es igual para todos los experimentos.

X\sim\text{Geom\'etrica}(p)

Distribución binomial negativa

La distribución binomial negativa es una distribución de probabilidad que describe el número de ensayos de Bernoulli necesarios para obtener un número determinado de resultados con éxito.

Por lo tanto, una distribución binomial negativa tiene dos parámetros característicos: r es el número de resultados con éxito deseado y p es la probabilidad de éxito de cada experimento de Bernoulli realizado.

X\sim \text{BN}(r,p)

Así pues, una distribución binomial negativa define un proceso en el que se hacen tantos ensayos de Bernoulli necesarios para conseguir r resultados de éxito. Además, todos estos ensayos de Bernoulli son independientes y tienen una probabilidad de éxito p constante.

Por ejemplo, una variable aleatoria que sigue una distribución binomial negativa es el número de veces que se debe lanzar un dado hasta conseguir tres veces el número 6.

Distribución hipergeométrica

La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad que describe el número de casos de éxito en una extracción aleatoria y sin remplazo de n elementos de una población.

Es decir, la distribución hipergeométrica sirve para calcular la probabilidad de obtener x éxitos al extraer n elementos de una población sin reemplazar ninguno.

Por lo tanto, la distribución hipergeométrica tiene tres parámetros:

  • N: es el número de elementos de la población (N = 0, 1, 2,…).
  • K: es el número máximo de casos de éxito (K = 0, 1, 2,…,N). Como en una distribución hipergeométrica un elemento solo puede considerarse «éxito» o «fracaso», N-K es el número máximo de casos de fracaso.
  • n: es el número de extracciones sin reemplazo que se hacen.

X \sim HG(N,K,n)

Distribución de probabilidad discreta y continua

Para terminar, veremos cuál es la diferencia entre una distribución de probabilidad discreta y una distribución de probabilidad continua, ya que es importante saber distinguir estos dos tipos de distribuciones.

La diferencia entre una distribución discreta y una distribución continua es el número de valores que pueden tomar. Una distribución continua puede tomar cualquier valor, en cambio, una distribución discreta no acepta cualquier valor sino que solo puede tomar un número finito de valores.

Una manera de diferenciar las distribuciones continuas de las distribuciones discretas es mediante el tipo de números que pueden valer. Normalmente, una distribución continua puede tomar cualquier valor incluyendo números decimales, mientras que las distribuciones discretas solo pueden tomar números enteros. Ten en cuenta que este truco no se cumple en todos los casos, pero sí en la gran mayoría.

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