Cuartiles

En este post te explicamos qué son los cuartiles. Encontrarás la definición de cada cuartil, cómo calcularlos y varios ejemplos resueltos. También te mostramos cómo calcular los cuartiles para datos agrupados en intervalos. Además, podrás calcular los cuartiles de cualquier conjunto de datos con una calculadora online.

¿Qué son los cuartiles?

En estadística, los cuartiles son los tres valores que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Por lo tanto, el primer, segundo y tercer cuartil representan respectivamente el 25%, 50% y 75% del conjunto de datos estadísticos.

Los cuartiles se representan mediante una Q mayúscula y el subíndice del cuartil, de manera que el primer cuartil es Q1, el segundo cuartil es Q2, y el tercer cuartil es Q3.

cuartiles

👉 Puedes usar la calculadora que hay más abajo para calcular los cuartiles de cualquier conjunto de datos.

Cabe destacar que los cuartiles son una medida de posición no central junto a los quintiles, los deciles y los percentiles. Puedes consultar en qué consiste cada uno de estos tipos de cuantiles en esta página web.

Primer cuartil

El primer cuartil, también llamado cuartil 1, es aquel valor superior al 25% de los datos estadísticos de una muestra. Es decir, el primer cuartil es más grande que el 25% de los datos observados.

El primer cuartil se expresa mediante el símbolo Q1 y se utiliza para indicar los valores de los datos más pequeños de la muestra.

Segundo cuartil

El segundo cuartil, también llamado cuartil 2, es aquel valor superior al 50% de los datos estadísticos de una muestra. Por lo tanto, el segundo cuartil separa el conjunto de datos en dos mitades y coincide con la mediana y el quinto decil.

El símbolo del segundo cuartil es Q2.

Tercer cuartil

El tercer cuartil, también llamado cuartil 3, es el valor que supera al 75% de los datos estadísticos de una muestra. O dicho de otra forma, el tercer cuartil es más grande que el 75% de los datos recopilados.

El tercer cuartil se expresa mediante el símbolo Q3 y representa los valores más grandes de la muestra.

Cómo calcular los cuartiles

Para calcular la posición de los cuartiles de un conjunto de datos estadísticos debes multiplicar el número del cuartil por la suma del número total de datos más uno y dividir el resultado entre cuatro.

Por lo tanto, la fórmula de los cuartiles es:

\cfrac{k\cdot (n+1)}{4} \qquad k=1, 2, 3

Atención: esta fórmula nos indica la posición del cuartil, no el valor del cuartil. El cuartil será el dato situado en la posición obtenida por la fórmula.

Sin embargo, a veces el resultado de esta fórmula nos dará un número decimal. De manera que debemos distinguir dos casos dependiendo de si el resultado es un número decimal o no:

  • Si el resultado de la fórmula es un número sin parte decimal, el cuartil es el dato que está en la posición que nos proporciona la fórmula de arriba.
  • Si el resultado de la fórmula es un número con parte decimal, el valor del cuartil se calcula mediante la siguiente fórmula:

Q=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)

Donde xi y xi+1 son los números de las posiciones entre las cuales está el número obtenido por la primera fórmula, y d es la parte decimal del número obtenido por la primera fórmula.

Ahora quizás te resulta muy complicado el cálculo de los cuartiles, ya que se deben tener muchas cosas en cuenta. Pero con los dos ejemplos del siguiente apartado verás como en realidad es bastante fácil.

Nota: en la comunidad científica no existe un consenso sobre el cálculo de los cuartiles, así que puede que encuentres algún libro de estadística que lo explique un poco diferente.

Ejemplos del cálculo de cuartiles

Para acabar de entender cómo se calculan los cuartiles, a continuación tienes dos ejercicios resueltos. En el primero los cuartiles son números enteros y en el segundo los cuartiles son números decimales, de este modo podrás ver las dos casos que te puedes encontrar.

Ejemplo 1

  • Calcula los tres cuartiles del siguiente conjunto de datos:
ejercicio datos ordenados

Como hemos visto más arriba, la fórmula para determinar los cuartiles es:

\cfrac{k\cdot (n+1)}{4} \qquad k=1, 2, 3

En este caso n, el número total de observaciones, es 15, de manera que debemos sustituir n por 15 y la k por 1 para hallar el primer cuartil:

\cfrac{1\cdot (15+1)}{4}=4 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad Q_1=39

Por lo tanto, el primer cuartil es el número en la posición cuatro de la lista ordenada de valores, que en este caso es el 39.

Del mismo modo, hacemos el cálculo del segundo cuartil sustituyendo el coeficiente k por un 2:

\cfrac{2\cdot (15+1)}{4}=8 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad Q_2=48

Así que el cuartil 2 es el octavo número de la lista ordenada, que corresponde al valor 48.

Finalmente, aplicamos una última vez la fórmula con k=3 para calcular el tercer cuartil:

\cfrac{3\cdot (15+1)}{4}=12 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad Q_3=60

El cuartil 3 es el dato que está en la duodécima posición, esto es, el 60.

Ejemplo 2

  • Encuentra los tres cuartiles de la siguiente serie de datos:
ejercicio resuelto datos ordenados

En este segundo ejemplo tenemos 24 observaciones, por lo que los números obtenidos de la fórmula de los cuartiles serán decimales.

Primero calculamos la posición del primer cuartil sustituyendo k por 1 en la fórmula general:

\cfrac{k\cdot (n+1)}{4}

\cfrac{1\cdot (24+1)}{4}=6,25

Pero hemos obtenido el número decimal 6,25, de modo que el primer cuartil está entre el sexto y el séptimo dato, que son respectivamente 22 y 25. Por lo tanto, para calcular el cuartil exacto debemos aplicar la siguiente fórmula:

Q=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)

En este caso xi es 22, xi+1 25 y d es la parte decimal del número obtenido, esto es, 0,25. Por tanto:

Q_1=22+0,25\cdot (25-22)=22,75

Ahora hacemos el mismo procedimiento para hallar el segundo cuartil:

\cfrac{2\cdot (24+1)}{4}=12,5

Otra vez volvemos a obtener un número decimal de la fórmula, en este caso es 12,5. Por lo que tenemos que usar la misma fórmula con el duodécimo y el decimotercer número de la tabla de datos, que corresponden a 49 y 50:

Q_2=49+0,5\cdot (50-49)=49,5

Por último, repetimos el mismo proceso para sacar el tercer cuartil:

\cfrac{3\cdot (24+1)}{4}=18,75

Pero el número 18,75 está entre el número 18 y el 19, así que el tercer cuartil estará entre los valores de dichas posiciones (71 y 73). Concretamente, será el valor que obtengamos de la siguiente expresión:

Q_3=71+0,75\cdot (73-71)=72,5

Calculadora de cuartiles

Introduce un conjunto de datos estadísticos en la siguiente calculadora para calcular los cuartiles. Los datos deben separase por un espacio e introducirse usando el punto como separador decimal.

Cuartiles en datos agrupados

Para calcular los cuartiles cuando los datos están agrupados en intervalos primero debemos encontrar el intervalo o clase en el que se encuentra el cuartil utilizando la siguiente fórmula:

\cfrac{k\cdot (n+1)}{4} \qquad k=1, 2, 3

De manera que el cuartil estará en el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea inmediatamente superior al número obtenido con la expresión anterior.

Y una vez sabemos el intervalo al que pertenece el cuartil, tenemos que aplicar la siguiente fórmula para hallar el valor exacto del cuartil:

Q_k=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{4}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i \qquad k=1,2,3

Donde:

  • Li es el límite inferior del intervalo en el que se halla el cuartil.
  • n es el número total de observaciones.
  • Fi-1 es la frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior.
  • fi es la frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra el cuartil.
  • Ii es la amplitud del intervalo del cuartil.

A modo de ejemplo, a continuación tienes resuelto un ejercicio del cálculo de los cuartiles en una serie de datos agrupados:

datos agrupados cuartiles

Para hacer el cálculo del primer cuartil primero debemos determinar el intervalo en el que se encuentra. Para ello, aplicamos la siguiente fórmula:

\cfrac{k\cdot (n+1)}{4}

\cfrac{1\cdot (30+1)}{4} =7,75 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [50,60)

De manera que el primer cuartil estará en el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea inmediatamente superior a 7,75, en este caso es el intervalo [50,60) cuya frecuencia absoluta acumulada es 15. Y una vez conocemos el intervalo del cuartil, empleamos la segunda fórmula del proceso:

Q_k=L_i+\cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{4}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i

Q_1=50+\cfrac{\displaystyle\frac{1\cdot (30+1)}{4}-7}{8}\cdot 10=50,94

Volvemos a aplicar el mismo procedimiento para sacar el segundo cuartil. Primero determinamos el intervalo donde está el cuartil:

\cfrac{2\cdot (30+1)}{4} =15,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [60,70)

El intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada es inmediatamente más grande a 15,5 es [60,70), con una frecuencia absoluta acumulada de 26. Por lo tanto, el segundo cuartil es:

Q_2=60+\cfrac{\displaystyle\frac{2\cdot (30+1)}{4}-15}{11}\cdot 10=60,45

Y, finalmente, repetimos el proceso para hallar el tercer cuartil. Primero calculamos el intervalo que contiene el cuartil:

\cfrac{3\cdot (30+1)}{4} =22,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [60,70)

La frecuencia absoluta acumulada inmediatamente superior a 23,25 es 26, por lo que el intervalo del tercer cuartil es [60,70). Así que aplicamos la fórmula para calcular el cuartil con este intervalo:

Q_3=60+\cfrac{\displaystyle\frac{3\cdot (30+1)}{4}-15}{11}\cdot 10=67,5

Para qué sirven los cuartiles

Los cuartiles son una medida de posición, por lo tanto, los cuartiles sirven para saber cómo están posicionados los datos. Es decir, los valores de los tres cuartiles permiten saber si un dato aleatorio de la muestra es muy grande, muy pequeño, o es un valor medio.

Si cogemos aleatoriamente un dato de la muestra, podemos saber si su valor es alto o pequeño comparándolo con los cuartiles. Si el valor del dato aleatorio es menor que el primer cuartil será un valor pequeño, pero si su valor es más grande que el tercer cuartil será un valor grande. Asimismo, si el valor de dicho dato está entre el primer y el tercer cuartil se trata de un valor intermedio.

Por otro lado, los cuartiles también se usan para calcular otras medidas estadísticas, como el rango intercuartil (o rango intercuartílico), y para hacer diagramas, como el diagrama de caja y bigotes (o boxplot).

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